(2,5 điểm)

3.1. Có \(10\) vòi nước công suất như nhau cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ thì đầy bể. Vậy hỏi số vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì đầy bể là bao nhiêu?

3.2. Hưởng ứng phong trào “Tết trồng cây”, ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây xanh trên địa bàn phường. biết rằng số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với \(6;4;5\) và tổng số cây của lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là 15 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.

Hướng dẫn giải

Gọi hai số cần tìm là \(x,y\) với \(x,y \ne 0\).

Theo đề, ta có tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với \(4:1:45\) nên ta có:

\(\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}}\).

Từ đây, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}} = \frac{{x + y + x - y}}{{4 + 1}} = \frac{{x + y - x + y}}{{4 - 1}}\) hay \(\frac{{2x}}{5} = \frac{{2y}}{3} = \frac{{xy}}{{45}}\) hay \(18x = 30y = xy\).

Ta có: \(30y = xy\) hay \(30y - xy = 0\) nên \(y\left( {30 - x} \right) = 0\).

Vì \(x,y \ne 0\) nên \(30 - x = 0\) hay \(x = 30\), suy ra \(y = 18\).

Vậy hai số cần tìm là \(30\) và \(18\).

Hướng dẫn giải

4.1.Áp dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có:

\(AH + HB > AB\) hay \(HB > AB - AH\) hay \(HB > 4,5 - 4\), suy ra \(HB > 0,5\).

Do đó, khoảng cách từ chân thang đến chân tường lớn hơn \(0,5{\rm{ m}}\).

Do đó, khẳng định của bạn Huệ là sai.

4.2. a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\), có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBH}\)

(\(BD\) là phân giác của \(\widehat B\))

\(BD\) chung (gt)

\(\widehat {DAB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (ch – gn)

Do đó, \(AB = BH\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra \(\Delta ABH\) cân tại \(B\) có \(BD\) là tia phân giác \(\widehat B\).

Suy ra \(BD\) cũng là đường trung trực của \(AH\). Do đó, \(BD \bot AH.\)

b) Do \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cmt) nên \[DA = DH\] (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác \[DAH\] vuông tại \[H\] nên có \[DA\] là cạnh huyền.

Do đó, \[DA > DH\].

Từ đó, suy ra \(DC > AD.\)

c) Chứng minh được \(\Delta ADI = \Delta HDC\) (cgv – gn)

Suy ra \(IA = CH\) (hai cạnh tương ứng)

Mà có \(AB = BH\), suy ra \(AB + AI = BH + HC\) hay \(BI = BC\).

Xét \(\Delta BIM\) và \(\Delta BCM\), có:

\(MI = MC\) (gt)

\(BM\) chung (gt)

\(BI = BC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta BIM = \Delta BCM\) (c.c.c)

Do đó, \(\widehat {IBM} = \widehat {CBM}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(BM\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Mà \(BD\) cũng là phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Suy ra \(B,D,M\) thẳng hàng.