(4,0 điểm)

4.1.Con mèo của bạn Huệ bị mắc kẹt trên bờ tường cao \(4{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Bác sử dụng một cái thang để đưa mèo xuống giúp bạn Huệ. Bác đặt thang dựa vào gờ tường (như hình a), khoảng cách từ chân thang đến điểm chạm vào gờ tường là \(AB = 4,5{\rm{ m}}\). Hình b mô tả hình ảnh chiếc thang dựa vào tường trong hình a. Bạn Huệ khẳng định chân thang cách chân tường là \(BH = 0,5{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Khẳng định của bạn Huệ có đúng không? Vì sao?

4.2.Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), tia phân giác của \(\widehat B\) cắt \(AC\) tại \(D\). Kẻ \(HD \bot BC\) \(\left( {H \in BC} \right)\).

a) Chứng minh \(AB = BH\) và \(BD \bot AH.\)

b) Chứng minh \(DC > AD.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BA\) và đường thẳng \(HD,\)\(M\) là trung điểm của \(IC\). Chứng minh ba điểm \(B,M,C\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

3.1. Ta có số vòi nước và thời gian chảy đầy bể là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi số vòi nước cùng kích thước để sau 5 giờ thì đầy bể là \(x\) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Theo đề, ta có: \(5x = 10.6\) hay \(5x = 60\), suy ra \(x = 12\) (thỏa mãn)

Vậy cần 12 vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì nước đầy bể.

3.2.Gọi số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là \(a,b,c\) cây \(\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với \(6;4;5\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}\).

Tổng số cây lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là \(15\) cây.

Do đó, ta có: \(b + c - a = 15\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{b + c - a}}{{4 + 5 - 6}} = \frac{{15}}{3} = 5\).

Ta có: \(a = 6.5 = 30\) (thỏa mãn), \(b = 5.4 = 20\) (thỏa mãn), \(c = 5.5 = 25\) (thỏa mãn)

Vậy số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là \(30\) cây, \(20\) cây, \(25\) cây.

Hướng dẫn giải

Gọi hai số cần tìm là \(x,y\) với \(x,y \ne 0\).

Theo đề, ta có tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với \(4:1:45\) nên ta có:

\(\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}}\).

Từ đây, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}} = \frac{{x + y + x - y}}{{4 + 1}} = \frac{{x + y - x + y}}{{4 - 1}}\) hay \(\frac{{2x}}{5} = \frac{{2y}}{3} = \frac{{xy}}{{45}}\) hay \(18x = 30y = xy\).

Ta có: \(30y = xy\) hay \(30y - xy = 0\) nên \(y\left( {30 - x} \right) = 0\).

Vì \(x,y \ne 0\) nên \(30 - x = 0\) hay \(x = 30\), suy ra \(y = 18\).

Vậy hai số cần tìm là \(30\) và \(18\).