Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 7 = 0\) với \(m\) là tham số.

     a) Giải phương trình khi \(m = \frac{1}{2}\).

     b) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình có nghiệm kép.

     c) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(4{x_1}^2 - {x_1} - 3x_2^2 + {x_2} = {x_1}{x_2}.\)

     1. a) Trong các phương trình trên, phương trình bậc hai một ẩn là: \( - {x^2} - 7x - 6 = 0;\)\({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\).

     • Với phương trình \( - {x^2} - 7x - 6 = 0,\) ta có \(a =  - 1,b =  - 7,c =  - 6\).

     • Với phương trình \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\), ta có \(a = 1,b = 2\sqrt 2 ,c = 2\).

     b) • Giải phương trình \( - {x^2} - 7x - 6 = 0,\) ta thấy \(a - b + c = 1 - \left( { - 7} \right) + 6 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x =  - 6\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left\{ { - 1; - 6} \right\}\).

     • Giải phương trình \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\), ta được: \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\) hay \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} = 0\)

Suy ra \(x - \sqrt 2  = 0\) nên \(x = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left\{ {\sqrt 2 } \right\}\).

     2. Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(x\) (g/cm3) \(\left( {x > 1} \right).\)

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(x - 1\) (g/cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\frac{{880}}{x}\) (cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\frac{{858}}{{x - 1}}\) (cm3).

Theo đề bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3 nên ta có phương trình: \(\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10\)

\(\frac{{858x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{880\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{10x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

\(858x - 880\left( {x - 1} \right) = 10x\left( {x - 1} \right)\)

\(858x - 880x + 880 = 10{x^2} - 10x\)

\(10{x^2} + 12x - 880 = 0\)

\(5{x^2} + 6x - 440 = 0\)

Giải phương trình trên ta được: \({x_1} =  - 10;\,\,{x_2} = 8,8.\)

Ta thấy chỉ có giá trị \({x_2} = 8,8\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(8,8\) g/cm3; khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(8,8 - 1 = 7,8\) (g/cm3).

Điều kiện \(x \ge 1\).

Ta có: \({x^2} - 29x + 28 = 4\sqrt {x - 1} \)

\({x^2} - 10x + 25 + x - 1 - 4\sqrt {x - 1}  + 4 = 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\)

Nhận thấy \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge 1\).

Do đó, \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra để \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\) thì đồng thời \({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\) và \({\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 5} \right)^2} = 0\\{\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\\sqrt {x - 1}  = 2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\x - 1 = 4\end{array} \right.\).

Do đó, \(x = 5\) (thỏa mãn).