1. Xét các phương trình sau:

\( - {x^2} - 7x - 6 = 0;\)         \({x^2} + 3\sqrt 3 y + 1 = 0;\)            \( - 3{x^3} + 4\sqrt 6 {x^2} = 0;\)             \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\).

     a) Trong các phương trình trên, chỉ ra phương trình bậc hai một ẩn và các hệ số \(a,b,c\) của phương trình đó.

     b) Giải các phương trình bậc hai vừa tìm được.

     2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

     a) Với \(m = \frac{1}{2}\), ta có: \({x^2} - \left( {2.\frac{1}{2} - 1} \right)x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 7 = 0\) suy ra \({x^2} - \frac{{27}}{4} = 0\) hay \({x^2} = \frac{{27}}{4}\).

Do đó, \(x = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\) thì phương trình có nghiệm là \(\left\{ {\frac{{3\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 3\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).

     b) Xét phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 7 = 0\) có :

     \(\Delta  = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {{m^2} - 7} \right) =  - 4m + 29\).

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta  = 0\) hay \( - 4m + 29 = 0\), do đó \(m = \frac{{29}}{4}\).

Vậy phương trình có nghiệm kép khi \(m = \frac{{29}}{4}\).

     c) Xét phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 7 = 0\) \(\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {{m^2} - 7} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 28 =  - 4m + 29\).

Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta  > 0,\) tức là \( - 4m + 29 > 0\) hay \(m < \frac{{29}}{4}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài, \(4{x_1}^2 - {x_1} - 3x_2^2 + {x_2} = {x_1}{x_2}\)

\(4{x_1}^2 - 4x_2^2 - {x_1} + x_2^2 + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0\)

\[4\left( {{x_1}^2 - x_2^2} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {x_2} - {x_1} = 0\]

\(4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 4{x_2} - {x_2} - 1} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 3{x_2} - 1} \right) = 0\)

Xét trường hợp 1: \({x_1} - {x_2} = 0\) suy ra \({x_1} = {x_2}\) (loại do \({x_1} \ne {x_2}).\)

Xét trường hợp 2: \(4{x_1} + 3{x_2} - 1 = 0\) suy ra \({x_1} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1 = 0\) \(\left( {**} \right)\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 2m - 1\) vào \(\left( {**} \right)\) ta có: \({x_1} + 3\left( {2m - 1} \right) - 1 = 0\) hay \({x_1} =  - 6m + 4\).

Thay \({x_1} =  - 6m + 4\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \( - 6m + 4 + {x_2} = 2m - 1\), suy ra \({x_2} = 8m - 5.\)

Thay \({x_1} =  - 6m + 4\) và \({x_2} = 8m - 5\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\left( { - 6m + 4} \right)\left( {8m - 5} \right) = {m^2} - 7\)

\( - 48{m^2} + 30m + 32m - 20 = {m^2} - 7\)

\( - 49{m^2} + 62m - 13 = 0\)

\(m = 1\) (thỏa mãn); \(m = \frac{{13}}{{49}}\) (thỏa mãn).

 Vậy với \(m = \left\{ {1;\,\,\frac{{13}}{{49}}} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện \(x \ge 1\).

Ta có: \({x^2} - 29x + 28 = 4\sqrt {x - 1} \)

\({x^2} - 10x + 25 + x - 1 - 4\sqrt {x - 1}  + 4 = 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\)

Nhận thấy \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge 1\).

Do đó, \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra để \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\) thì đồng thời \({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\) và \({\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 5} \right)^2} = 0\\{\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\\sqrt {x - 1}  = 2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\x - 1 = 4\end{array} \right.\).

Do đó, \(x = 5\) (thỏa mãn).