1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {3;\,\,3} \right)\) và \(B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right).\) Hỏi phép quay ngược chiều tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(B\) có góc quay bằng bao nhiêu độ?

       2. Cho hình vẽ bên.

Tính số đo góc \(ADC\) bằng bao nhiêu độ?

     a) Thay \(x =  - 1,y = 2\) vào hàm số, ta được: \(\left( {{m^2} - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 2\) nên \({m^2} = 3\).

Suy ra \(m = \sqrt 3 \) hoặc \(m =  - \sqrt 3 \).

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) là \(y = 2{x^2}\) khi \(m = \sqrt 3 \) hoặc \(m =  - \sqrt 3 \).

     b) Ÿ Thay \(x = 1,y = 3\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\), ta được: \(2 = 3\) (vô lí)

     Do đó, điểm \(B\left( {1;3} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

     Ÿ Thay \(x =  - 1,y = 2\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\), ta được: \(2.{\left( { - 1} \right)^2} = 2\).

     Do đó, điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

     c) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3\end{array} \right.\).

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 1;3} \right)\).

Thay \(x =  - 1,y = 3\) vào \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\), ta có: \(\left( {{m^2} - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 3\) suy ra \({m^2} = 4\).

Suy ra \(m = 2\) hoặc \(m =  - 2\).

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 1;3} \right)\) là \(y = 3{x^2}\) khi \(m = 2\) hoặc \(m =  - 2\).

     d) Ta có bảng giá trị của hàm số \(y = 2{x^2}\) như sau:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 2;8} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;2} \right);\left( {2;8} \right)\).

     Ta có bảng giá trị của hàm số \(y = 3{x^2}\) như sau:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 2;12} \right);\left( { - 1;3} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;3} \right);\left( {2;12} \right)\).

Từ đây, ta có đồ thị hàm số như sau:

     a) Với \(m = 3,\) ta có phương trình: \({x^2} - 8x + 16 = 0\) hay \({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\), suy ra \(x - 4 = 0\).

Do đó, \(x = 4\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\) khi \(m = 3.\)

     b) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\) có:

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} - 3m + 2 =  - m + 3\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \( - m + 3 \ge 0\), suy ra \(m \le 3\).

Vậy \(m \le 3\) thì phương trình có nghiệm.

     c) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \( - m + 3 > 0\) suy ra \(m < 3.\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\).

Lại có, \(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\)

         \(A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - \left( {2{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2} \right)\)

         \(A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\)

         \(A = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2}\)

         \(A = 2018 + 5{m^2} + 15m - 10 - 4{m^2} - 8m - 4\)

         \(A = {m^2} + 7m + 2004\)

         \(A = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7967}}{4}\)

Ta có: \({\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\), do đó \({\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7967}}{4} \ge \frac{{7967}}{4}\) hay \(A \ge \frac{{7967}}{4}\).

Vậy GTNN của \(A = \frac{{7967}}{4}\) khi \(m =  - \frac{7}{2}.\)