Cho đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,{\rm{ }}AC\] lần lượt tại \[F\] và \[E.\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[BI.\] Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(AEIF\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(\widehat {AIF} = \widehat {KIC}\) và ba điểm \[F,{\rm{ }}E,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.

     a) Thay \(x =  - 1,y = 2\) vào hàm số, ta được: \(\left( {{m^2} - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 2\) nên \({m^2} = 3\).

Suy ra \(m = \sqrt 3 \) hoặc \(m =  - \sqrt 3 \).

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) là \(y = 2{x^2}\) khi \(m = \sqrt 3 \) hoặc \(m =  - \sqrt 3 \).

     b) Ÿ Thay \(x = 1,y = 3\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\), ta được: \(2 = 3\) (vô lí)

     Do đó, điểm \(B\left( {1;3} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

     Ÿ Thay \(x =  - 1,y = 2\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\), ta được: \(2.{\left( { - 1} \right)^2} = 2\).

     Do đó, điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).

     c) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3\end{array} \right.\).

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 1;3} \right)\).

Thay \(x =  - 1,y = 3\) vào \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\), ta có: \(\left( {{m^2} - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 3\) suy ra \({m^2} = 4\).

Suy ra \(m = 2\) hoặc \(m =  - 2\).

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 1;3} \right)\) là \(y = 3{x^2}\) khi \(m = 2\) hoặc \(m =  - 2\).

     d) Ta có bảng giá trị của hàm số \(y = 2{x^2}\) như sau:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 2;8} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;2} \right);\left( {2;8} \right)\).

     Ta có bảng giá trị của hàm số \(y = 3{x^2}\) như sau:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 2;12} \right);\left( { - 1;3} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;3} \right);\left( {2;12} \right)\).

Từ đây, ta có đồ thị hàm số như sau:

     a) Với \(m = 3,\) ta có phương trình: \({x^2} - 8x + 16 = 0\) hay \({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\), suy ra \(x - 4 = 0\).

Do đó, \(x = 4\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\) khi \(m = 3.\)

     b) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\) có:

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} - 3m + 2 =  - m + 3\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \( - m + 3 \ge 0\), suy ra \(m \le 3\).

Vậy \(m \le 3\) thì phương trình có nghiệm.

     c) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \( - m + 3 > 0\) suy ra \(m < 3.\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\).

Lại có, \(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\)

         \(A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - \left( {2{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2} \right)\)

         \(A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\)

         \(A = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2}\)

         \(A = 2018 + 5{m^2} + 15m - 10 - 4{m^2} - 8m - 4\)

         \(A = {m^2} + 7m + 2004\)

         \(A = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7967}}{4}\)

Ta có: \({\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\), do đó \({\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7967}}{4} \ge \frac{{7967}}{4}\) hay \(A \ge \frac{{7967}}{4}\).

Vậy GTNN của \(A = \frac{{7967}}{4}\) khi \(m =  - \frac{7}{2}.\)