Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}{\rm{ }}\left( {m \ne 1} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right).\)

     a) Xác định \(m\) để đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - \sqrt 3 ;1} \right).\)

Với giá trị \(m\) vừa tìm được ở trên, hãy:

     b) Hãy vẽ đồ thị \(\left( P \right).\)

     c) Tìm các điểm trên \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \(3.\)

     d) Tìm các điểm trên \(\left( P \right)\) có tung độ gấp đôi hoành độ.

1. a) Trong các phương trình trên, phương trình bậc hai một ẩn là: \( - {x^2} - 7x - 6 = 0;\)\({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\).

     • Với phương trình \( - {x^2} - 7x - 6 = 0,\) ta có \(a =  - 1,b =  - 7,c =  - 6\).

     • Với phương trình \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\), ta có \(a = 1,b = 2\sqrt 2 ,c = 2\).

     b) • Giải phương trình \( - {x^2} - 7x - 6 = 0,\) ta thấy \(a - b + c = 1 - \left( { - 7} \right) + 6 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x =  - 6\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left\{ { - 1; - 6} \right\}\).

     • Giải phương trình \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\), ta được: \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\) hay \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} = 0\)

Suy ra \(x - \sqrt 2  = 0\) nên \(x = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left\{ {\sqrt 2 } \right\}\).

2. Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(x\) (g/cm3) \(\left( {x > 1} \right).\)

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(x - 1\) (g/cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\frac{{880}}{x}\) (cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\frac{{858}}{{x - 1}}\) (cm3).

Theo đề bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3 nên ta có phương trình: \(\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10\)

\(\frac{{858x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{880\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{10x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

\(858x - 880\left( {x - 1} \right) = 10x\left( {x - 1} \right)\)

\(858x - 880x + 880 = 10{x^2} - 10x\)

\(10{x^2} + 12x - 880 = 0\)

\(5{x^2} + 6x - 440 = 0\)

Giải phương trình trên ta được: \({x_1} =  - 10;\,\,{x_2} = 8,8.\)

Ta thấy chỉ có giá trị \({x_2} = 8,8\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(8,8\) g/cm3; khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(8,8 - 1 = 7,8\) (g/cm3).

  1. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Ox.\] Ta có \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) nên \[OH = AH = \left| {--2} \right| = 2.\]

Do đó \[\Delta AOH\] vuông cân tại \[H,\] nên \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có: \[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 .\)

Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Ox,\] do đó \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

Ta cũng chứng minh được \(\widehat {HOI} = 45^\circ \) và \(OI = 2\sqrt 2 .\)

Như vậy, phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) thành điểm \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

2. Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp nên \[\widehat {A\,} + \widehat C = 180^\circ \] (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng \(180^\circ ).\) Suy ra \[\widehat C = 180^\circ  - \widehat {A\,} = 180^\circ  - 80^\circ  = 100^\circ .\] Xét \(\Delta ABD\) có \(\widehat {A\,} + \widehat {ABD} + \widehat {ADB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {ADB} = 180^\circ  - \left( {\widehat {A\,} + \widehat {ABD}} \right) = 180^\circ  - \left( {80^\circ  + 60^\circ } \right) = 40^\circ \].

Vì \[AD\,{\rm{//}}\,BD\] nên \[\widehat {DBC} = \widehat {ADB} = 40^\circ \] (so le trong).

Xét \(\Delta BCD\) có \(\widehat {C\,} + \widehat {CBD} + \widehat {BDC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {BDC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {CBD}} \right) = 180^\circ  - \left( {100^\circ  + 40^\circ } \right) = 40^\circ .\)