Câu hỏi:

03/07/2025 27

(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh bất đẳng thức sau:

\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Với hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0\], ta có:

\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 = {a^2} + {b^2} + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)

\( = {a^2} + {b^2} + 2ab - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)

\( = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)

\( = {\left( {a + b} \right)^2} - 2\left( {ab + 1} \right) + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

\[ = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^4} - 2{{\left( {a + b} \right)}^2}\left( {ab + 1} \right) + {{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\].

Với \[a + b \ne 0\] ta có \({\left( {a + b} \right)^2} > 0\) và \[{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0\]

Do đó \[\frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 0\] nên \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 \ge 0\) hay \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)

Vậy bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2\) đã được chứng minh.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

⦁ \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\), suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32{\rm{\;(cm);}}\)

\[BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) ta có:

⦁ \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\), suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72{\rm{\;(cm);}}\)

⦁ \(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Khi đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\)

(2,0 điểm)  1. Cho tam giác   A B C   có đường cao   A H = 5 c m , ˆ B = 70 ∘ , ˆ C = 35 ∘ .   Tính độ dài các cạnh của tam giác   A B C   (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).  2. Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là   20 ∘   và cần đặt cao hơn mặt đất là   2 , 5 m .   Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường   2 m .   Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). (ảnh 2)

2. Hình ảnh thiết bị chiếu sáng trong bài toán được mô tả như hình vẽ bên, trong đó \(A\) là vị trí đặt thiết bị chiếu sáng, \(CD\) là độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất và \(\widehat {CAD} = 20^\circ \) là góc chiếu sáng. Khi đó ta có \(AB = 2,5{\rm{\;m}}\) và \(BC = 2{\rm{\;m}}.\)

⦁ Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có:

\(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2,5}} = 0,8\) nên \(\widehat {BAC} \approx 38,7^\circ .\)

Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38,7^\circ + 20^\circ = 58,7^\circ .\)

⦁ Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có

\(BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2,5 \cdot \tan 58,7^\circ \approx 4,1{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Do đó \(CD = BD - BC \approx 4,1 - 2 = 2,1{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

(2,0 điểm)  1. Cho tam giác   A B C   có đường cao   A H = 5 c m , ˆ B = 70 ∘ , ˆ C = 35 ∘ .   Tính độ dài các cạnh của tam giác   A B C   (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).  2. Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là   20 ∘   và cần đặt cao hơn mặt đất là   2 , 5 m .   Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường   2 m .   Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). (ảnh 3)

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng \(2,1\) mét.

Lời giải

Hướng dẫn giải

1. a) \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\]

\(2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\)

\[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\]

\[\left( {3x - 1} \right) \cdot 2\left( {x + 1} \right) = 0\]

\(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{3};\) \(x = - 1\).

1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3\).

\(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 9}}\)

\(\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 3x + 3\)

\(2x + 6 - 3x + 9 = 3x + 3\)

\( - x + 15 = 3x + 3\)

\( - 4x = - 12\)

\(x = 3\) (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) \(5 - 7x > 4\left( {x - 3} \right) - 7\)

\(5 - 7x > 4x - 12 - 7\)

\( - 7x - 4x > - 12 - 7 - 5\)

\( - 11x > - 24\)

\(x < \frac{{24}}{{11}}.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{{24}}{{11}}.\)

2. b) \(\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \le \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}\)

\(\frac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{30}} - \frac{{2\left( {7x + 3} \right)}}{{30}} \le \frac{{10\left( {2x + 1} \right)}}{{30}} + \frac{{6\left( {3 - 2x} \right)}}{{30}}\)

\[15\left( {x - 1} \right) - 2\left( {7x + 3} \right) \le 10\left( {2x + 1} \right) + 6\left( {3 - 2x} \right)\]

\[15x - 15 - 14x - 6 \le 20x + 10 + 18 - 12x\]

\[x - 21 \le 8x + 28\]

\[ - 7x \le 49\]

\[x \ge - 7.\]

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \ge - 7.\]

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP