(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh bất đẳng thức sau:

\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)

1. Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

⦁ \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\), suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32{\rm{\;(cm);}}\)

⦁ \[BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) ta có:

⦁ \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\), suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72{\rm{\;(cm);}}\)

⦁ \(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Khi đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\)

1. a) \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\]

\(2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\)

\[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\]

\[\left( {3x - 1} \right) \cdot 2\left( {x + 1} \right) = 0\]

\(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{3};\) \(x = - 1\).

1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3\).

\(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 9}}\)

\(\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 3x + 3\)

\(2x + 6 - 3x + 9 = 3x + 3\)

\( - x + 15 = 3x + 3\)

\( - 4x = - 12\)

\(x = 3\) (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) \(5 - 7x > 4\left( {x - 3} \right) - 7\)

\(5 - 7x > 4x - 12 - 7\)

\( - 7x - 4x > - 12 - 7 - 5\)

\( - 11x > - 24\)

\(x < \frac{{24}}{{11}}.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{{24}}{{11}}.\)

2. b) \(\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \le \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}\)

\(\frac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{30}} - \frac{{2\left( {7x + 3} \right)}}{{30}} \le \frac{{10\left( {2x + 1} \right)}}{{30}} + \frac{{6\left( {3 - 2x} \right)}}{{30}}\)

\[15\left( {x - 1} \right) - 2\left( {7x + 3} \right) \le 10\left( {2x + 1} \right) + 6\left( {3 - 2x} \right)\]

\[15x - 15 - 14x - 6 \le 20x + 10 + 18 - 12x\]

\[x - 21 \le 8x + 28\]

\[ - 7x \le 49\]

\[x \ge - 7.\]

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \ge - 7.\]