(2,0 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}};\)

b) \[\frac{{2x + 4}}{3} - \frac{{4x - 7}}{{18}} > \frac{{2x - 5}}{9} - \frac{{2x - 1}}{{15}}.\]

 

Hướng dẫn giải

Xét \[\Delta AHC\] vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:

\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} \approx 2,{57^2} + 1,{44^2} = 8,6785\]

Suy ra \(AC \approx 2,95\) (cm).

Trong \[\Delta AHC\], ta cũng có: \(\tan C = \frac{{AH}}{{HC}} \approx \frac{{2,57}}{{1,44}} = \frac{{257}}{{144}}.\) Suy ra \(\widehat {C\,} \approx 60^\circ 44'.\)

b) Đặt: \(BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);\) \(AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(C,\) ta có: \[CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .\]

Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(C,\) ta có: \(CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \).

Do đó, ta có: \(\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158,5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \(CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 3\,\,158,5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).\)

Vậy ngọn núi cao khoảng \(2\,\,468\) mét.

Hướng dẫn giải

Đáp số: \(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào bất phương trình, ta được \(3 \cdot 1 - 4 = - 1 \le 0\) là khẳng định đúng.

Do đó, \(x = 1\) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay \(x = 2\) vào bất phương trình, ta được \(3 \cdot 2 - 4 = 2 \le 0\) là khẳng định sai.

Do đó, \(x = 2\) không là một nghiệm của bất phương trình đã cho.