1.     Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 9\) và \(\widehat {C\,} = 32^\circ .\) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác \(ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

2.     Một chiếc thang \(AC\) được dựng vào một bức tường thẳng đứng (hình vẽ).

– Ban đầu khoảng cách từ chân thang đến tường là \(BC = 1,3{\rm{\;m}}\) và góc tạo bởi thang và phương nằm ngang là \(\widehat {ACB} = 66^\circ \).

– Sau đó, đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}}\) đến vị trí \(D.\) Khi đó, góc \(DEB\) tạo bởi thang và phương nằm ngang bằng bao nhiêu (Kết quả số đo góc làm tròn đến phút)?

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = \alpha \).

Do \(\widehat {B\,}\) là góc nhọn nên \(0^\circ < \widehat {B\,} < 90^\circ \) hay \[0^\circ < \alpha < 90^\circ .\]

Ta có: \(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}\) và \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}.\)

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Pythagore).

Khi đó: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1.\]

Với \[0^\circ < \alpha < 90^\circ \] thì \[1 - \cos \alpha \ne 0\] và \[\sin \alpha - \cos \alpha + 1 \ne 0\].

Ta có: \[\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}}{{1 - \cos \alpha }} - \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha - 1} \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right) - 2\cos \alpha \left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left[ {\sin \alpha + \left( {\cos \alpha - 1} \right)} \right]\left[ {\sin \alpha - \left( {\cos \alpha - 1} \right)} \right] - 2\cos \alpha \left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\left( {\cos \alpha - 1} \right)}^2} - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - \left( {{{\cos }^2}\alpha - 2\cos \alpha + 1} \right) - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha + 2\cos \alpha - 1 - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x - 1}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x + 1} \right)}}.\]

\[ = \frac{{1 - 1}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x + 1} \right)}} = 0\] (vì \[1 - \cos x \ne 0\] và \[\sin x - \cos x + 1 \ne 0)\]

Vậy \[\frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{1 - \cos x}} = \frac{{2\cos x}}{{\sin x - \cos x + 1}}.\]

Hướng dẫn giải

1. Vì số nguyên tử của \({\rm{K,}}\,\,{\rm{Cl}}\) và \({\rm{O}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2\\3x = 2y\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 2y\end{array} \right.\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(3x = 2y,\) ta được:

\(3 \cdot 2 = 2y\) suy ra \(2y = 6,\) nên \(y = 3.\)

Vậy \(x = 2\) và \(y = 3.\) Khi đó ta hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau cân bằng như sau:

\(2{\rm{KCl}}{{\rm{O}}_3} \to 2{\rm{KCl}} + 3{{\rm{O}}_2}.\)

2. Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và Jumping jacks \(\left( {x > y > 0} \right).\)

Theo đề bài, anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập 40 phút Yoga, sau đó nhảy Jumping jacks 10 phút và tiêu hao được 510 calo nên ta có phương trình

\[40x + 10y = 510\] hay \[4x + y = 51{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và nhảy Jumping jacks 20 phút thì tiêu hao được là 470 calo nên ta có phương trình

\[30x + 20y = 470\] hay \[3x + 2y = 47{\rm{ }}\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(5x = 55\), suy ra \(x = 11\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 11\) vào phương trình \[4x + y = 51\], ta được:

\[4 \cdot 11 + y = 51\] suy ra \(y = 7\) (thỏa mãn).

Vậy số calo tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga là 11 calo và số calo tiêu hao trong mỗi phút nhảy Jumping jacks là 7 calo.