(2,5 điểm)

1. Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 30^\circ .\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC.\) Tính độ dài cạnh \(AN\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2. Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

1. a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\)

\(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\)

\(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\)

\(x = - 9\) hoặc \(x = 4\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\).

1. b) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

Điều kiện xác định \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1.\)

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được

\(\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

Suy ra \(x\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 5x + 1\)

\({x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 1} \right) = {x^2} + 5x + 1\)

\[{x^2} + 3x - {x^2} + 1 = {x^2} + 5x + 1\]

\(3x + 1 = {x^2} + 5x + 1\)

\[{x^2} + 2x = 0\]

\[x\left( {x + 2} \right) = 0\]

\(x = 0\) hoặc \[x + 2 = 0\]

\(x = 0\) hoặc \[x = - 2\]

Đối chiếu ĐKXĐ suy ra \[x = - 2\] là nghiệm của phương trình.

2. a) \(\frac{{3 - 2x}}{2} > 4\)

\(\frac{{3 - 2x}}{2} \cdot 2 > 4 \cdot 2\)

\(3 - 2x > 8\)

\( - 2x > 5\)

\(x < - \frac{5}{2}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < - \frac{5}{2}\).

2. b) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\]

\[{x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;--3\]

\[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\]

\[3x < - 7\]

\[x < - \frac{7}{3}\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\]

2. c) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}\]

\[\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}\]

\[3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)\]

\[12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22\]

\[12x + 6x - 18x \ge - 22 + 3 + 19\]

\[0x \ge 0\].

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \in \mathbb{R}.\)