Chứng minh định lí là

Hướng dẫn giải

a)

b) Nhận thấy \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {CAx}\) là hai góc kề bù.

Do đó, ta có: \(\widehat {BAC} + \widehat {CAx} = 180^\circ \) nên \(\widehat {xAC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Lại có \(Ay\) là tia phân giác của \(\widehat {xAC}\) nên \(\widehat {CAy} = \widehat {yAx} = \frac{{\widehat {CAx}}}{2} = \frac{{80^\circ }}{2} = 40^\circ \).

Suy ra \(\widehat {yAx} = \widehat {ABC} = 40^\circ \).

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(Ay\parallel BC\).

c)

Nhận thấy \(\widehat {yAC}\) và \(\widehat {zAC}\) là hai góc kề nhau nên \(\widehat {zAC} + \widehat {yAC} = \widehat {zAy}\) hay \(\widehat {zAC} + 40^\circ = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {zAC} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).

Theo đề, tia \(Az\) nằm trong \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {zAC}\) và \(\widehat {zAB}\) là hai góc kề nhau (1).

Do đó, \(\widehat {zAC} + \widehat {zAB} = \widehat {BAC}\) hay \(50^\circ + \widehat {zAB} = 100^\circ \) suy ra \(\widehat {zAB} = 100^\circ - 50 = 50^\circ \).

Suy ra \(\widehat {zAC} = \widehat {zAB} = 50^\circ \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra tia \(Az\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{3^4}}} - \frac{1}{{{3^5}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

\(3A = - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} - \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{99}}}}\)

Suy ra \(3A + A = - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} - \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{99}}}} + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{3^4}}} - \frac{1}{{{3^5}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}} \right)\)

\(4A = - 1 + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^3}}} - \frac{1}{{{3^3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^4}}} - \frac{1}{{{3^4}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}}} \right) + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

\(4A = - 1 + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

Suy ra \(A = \frac{1}{4}\left( { - 1 + \frac{1}{{{3^{100}}}}} \right)\).

Do \({3^{100}} > 1\) suy ra \(\frac{1}{{{3^{100}}}} < 1\) nên \(\frac{1}{{{3^{100}}}} - 1 < 0\) suy ra \(\frac{1}{4}\left( { - 1 + \frac{1}{{{3^{100}}}}} \right) < 0\) hay \(A < 0\).

Suy ra \(\left| A \right| = - A\).

Do đó, \(B = 4\left| A \right| + \frac{1}{{{3^{100}}}} = - 4A + \frac{1}{{{3^{100}}}} = - 4.\frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{{3^{100}}}} - 1} \right) + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

\( = - \left( {\frac{1}{{{3^{100}}}} - 1} \right) + \frac{1}{{{3^{100}}}} = - \frac{1}{{{3^{100}}}} + 1 + \frac{1}{{{3^{100}}}} = 1 + \left( { - \frac{1}{{{3^{100}}}} + \frac{1}{{{3^{100}}}}} \right) = 1\).

Vậy \(B = 1\).