Câu hỏi:

18/07/2025 40 Lưu

Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\) ở \(D\), đường phân giác \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\) ở \(E.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\). Biết \(BC = 30{\rm{ cm, }}AM = 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

a) \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}.\)

b) \(DE\parallel BC\).

c) \(DI = EI.\)

d) \(ED = 6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai.

Cho   Δ A B C  , trung tuyến   A M  , đường phân giác của   ˆ A M B   cắt   A B   ở   D  , đường phân giác   ˆ A M C   cắt   A C   ở   E .   Gọi   I   là giao điểm của   A M   và   D E  . Biết   B C = 30 c m , A M = 10 c m .    a)   B D A D = M B M A .    b)   D E ∥ B C  .  c)   D I = E I .    d)   E D = 6 c m . (ảnh 1)

⦁ Vì \(MD\) là tia phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\). Do đó ý a) sai.

⦁ Vì \(ME\) là tia phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{MC}}{{MA}}.\)

Mà \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{CE}}{{AE}}\), theo định lí Thalès đảo ta có \(DE\parallel BC.\)

Suy ra \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM.\] Do đó ý b) đúng.

⦁ Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) lần lượt có \(DI\parallel BM\) và \(EI\parallel CM\).

Do đó, \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{EI}}{{CM}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).

Mà \(BM = CM\) suy ra \(DI = EI.\) Do đó ý c) đúng.

⦁ Ta có: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) mà \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MI}}{{AI}}\) (do \(DI\parallel BM\)) suy ra \(\frac{{MI}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).

Lại có \(\frac{{MA}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{DI}}\) (do \(DI\parallel BM\))

Do đó, \(\frac{{MB}}{{DI}} = \frac{{MI + IA}}{{AI}} = 1 + \frac{{MI}}{{AI}} = 1 + \frac{{MB}}{{AM}} = \frac{{AM + MB}}{{AM}}\).

Suy ra \(DI = \frac{{BM \cdot AM}}{{AM + BM}} = \frac{{15 \cdot 10}}{{10 + 15}} = \frac{{150}}{{25}} = 6\).

Suy ra \(ED = 2DI = 2.6 = 12\) (do \(DI = IE = \frac{1}{2}DE\)). Do đó ý d) sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp số: 60.

Xét tứ giác \[MNPQ,\] ta có: \(\widehat M + \widehat N + \widehat P + \widehat Q = 360^\circ \) (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra \(x + 2x + x + 2x = 360^\circ \) hay \(6x = 360^\circ \) nên \(x = 60^\circ \).

Lời giải

Hướng dẫn giải

(1,0 điểm) Cho tam giác   A B C   có   A B < A C ,     A I   là đường cao và ba điểm   D , E , F   theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng   A B , A C , B C .   Lấy điểm   J   sao cho   E   là trung điểm   I J .    a) Chứng minh tứ giác   D E F I   là hình thang cân.  b)   E B   và   F D   cắt nhau tại   K .   Chứng minh hai tứ giác   A D K E   và   K E C F   có diện tích bằng nhau. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\) và \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất đường trung bình).

Mà \(I,\,\,F \in BC\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,IF.\)

Suy ra tứ giác \(DEFI\) là hình thang.

Xét tam giác \(AIC\) vuông tại \(I,\) có \(IE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(IE = AE = EC = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).(1)

Xét \(\Delta ABC\) có \(D,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) nên \(DF\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DF\,{\rm{//}}\,AC\) và \(DF = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình).(2)

Từ (1) và (2) ta có \(IE = DF\left( { = \frac{1}{2}AC} \right).\)

Hình thang \(DEFI\) có hai đường chéo \(IE = DF\) nên \(DEFI\) là hình thang cân.

b) Vì \(F\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BF = FC = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung bình).

Mà \(DE = \frac{1}{2}BC\) (chứng minh ở câu a)

Suy ra \(DE = BF.\)

Xét tứ giác \(BDEF\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BF\) (do \(DE\,{\rm{//}}\,BC)\) và \(DE = BF\) nên \(BDEF\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \(EB\) và \(FD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra \(K\) là trung điểm của \(FD\). Do đó \(DK = KF.\)

Ta có \(DF\,{\rm{//}}\,AC\).

Mà \(K \in DF,\,\,E \in AC\) nên \(DK\,{\rm{//}}\,AE,\,\,KF\,{\rm{//}}\,EC\)

Do đó hai tứ giác \(ADKE\) và \(KECF\) là hình thang.

Từ \(K\) kẻ \(KM \bot AC.\) Khi đó \(KM\) là chiều cao của hình thang \(ADKE\) và \(KECF.\)

Ta có: \({S_{ADKE}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {DK + AE} \right);\)

\[{S_{KECF}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {KF + EC} \right).\]

Mà \(DK = KF\) (chứng minh trên) và \(AE = EC\) (do \(E\) là trung điểm của \(AC)\)

Suy ra \({S_{ADKE}} = {S_{KECF}}\).

Vậy hai tứ giác \(ADKE\) và \(KECF\) có cùng diện tích.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

A. \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{DE}}.\)

B. \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}.\)

C. \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{CE}} = \frac{{BC}}{{DE}}.\)

D. \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP