Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\) ở \(D\), đường phân giác \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\) ở \(E.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\). Biết \(BC = 30{\rm{ cm, }}AM = 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

a) \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}.\)

b) \(DE\parallel BC\).

c) \(DI = EI.\)

d) \(ED = 6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\) và \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất đường trung bình).

Mà \(I,\,\,F \in BC\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,IF.\)

Suy ra tứ giác \(DEFI\) là hình thang.

Xét tam giác \(AIC\) vuông tại \(I,\) có \(IE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(IE = AE = EC = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).(1)

Xét \(\Delta ABC\) có \(D,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) nên \(DF\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DF\,{\rm{//}}\,AC\) và \(DF = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình).(2)

Từ (1) và (2) ta có \(IE = DF\left( { = \frac{1}{2}AC} \right).\)

Hình thang \(DEFI\) có hai đường chéo \(IE = DF\) nên \(DEFI\) là hình thang cân.

b) Vì \(F\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BF = FC = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung bình).

Mà \(DE = \frac{1}{2}BC\) (chứng minh ở câu a)

Suy ra \(DE = BF.\)

Xét tứ giác \(BDEF\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BF\) (do \(DE\,{\rm{//}}\,BC)\) và \(DE = BF\) nên \(BDEF\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \(EB\) và \(FD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra \(K\) là trung điểm của \(FD\). Do đó \(DK = KF.\)

Ta có \(DF\,{\rm{//}}\,AC\).

Mà \(K \in DF,\,\,E \in AC\) nên \(DK\,{\rm{//}}\,AE,\,\,KF\,{\rm{//}}\,EC\)

Do đó hai tứ giác \(ADKE\) và \(KECF\) là hình thang.

Từ \(K\) kẻ \(KM \bot AC.\) Khi đó \(KM\) là chiều cao của hình thang \(ADKE\) và \(KECF.\)

Ta có: \({S_{ADKE}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {DK + AE} \right);\)

\[{S_{KECF}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {KF + EC} \right).\]

Mà \(DK = KF\) (chứng minh trên) và \(AE = EC\) (do \(E\) là trung điểm của \(AC)\)

Suy ra \({S_{ADKE}} = {S_{KECF}}\).

Vậy hai tứ giác \(ADKE\) và \(KECF\) có cùng diện tích.

Hướng dẫn giải

a) Từ biểu đồ trên, ta có bảng thống kê doanh thu của hai chi nhánh Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh trong năm 2023 và năm 2024 như sau:

b) Trong giai đoạn 2023 – 2024:

• Tổng doanh thu năm 2023 của hai chi nhánh trên là:

\[10,2 + 14,5 = 24,7\] (tỉ đồng)

• Tổng doanh thu năm 2024 của hai chi nhánh trên là:

\[12,4 + 16,8 = 29,2\] (tỉ đồng)

Vì \(24,9 > 20,8\) nên tổng doanh thu của năm 2024 lớn hơn năm 2023 và lớn hơn: \(29,2 - 24,7 = 4,5\) (tỉ đồng).

Vậy trong hai năm trên, tổng doanh thu của năm 2024 lớn hơn và lớn hơn \(4,5\) tỉ đồng.

c) • Lợi nhuận của chi nhánh Hà Nội năm 2024 là:

\(14,5 - 14,5 \cdot 70\% = 4,35\) (tỉ đồng).

• Lợi nhuận của chi nhánh Thành phố Hồ Chí Minh năm 2024 là:

\(16,8 - 16,8 \cdot 60\% = 6,72\) (tỉ đồng).

Vì \(6,72 > 4,35\) nên chi nhánh Thành phố Hồ Chí Minh có lợi nhuận cao hơn và hơn \(6,72 - 4,35 = 2,37\) (tỉ đồng).

Vậy năm 2024 chi nhánh Thành phố Hồ Chí Minh có lợi nhuận cao hơn và hơn \(2,37\) tỉ đồng.