Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((0; + \infty )\). Biết rằng, \({f^\prime }(x) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) với mọi \(x \in (0; + \infty )\) và \(f(1) = 1\). Tính giá trị \(f(4)\).

Hàm só́ \(f(x)\) cân tìm là một nguyên hàm của hảm số \({f^\prime }(x) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\).

Ta có: \(\int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 2 x\;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = {x^2} - \frac{1}{x} + C.\)

Do đó, hàm só́ \(f(x)\) có dạng \(f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + C,x \in (0; + \infty )\).

Theo già thiết, \(f(1) = {1^2} - 1 + C = 1\) nên \(C = 1\) và \(f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1,x \in (0; + \infty )\).

Đáp số: \(f(4) = \frac{{67}}{4}\).