11 bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số f(x) và g(x) (có lời giải)

12 người thi tuần này 4.6 12 lượt thi 11 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = - {x^3} + 4x\], trục hoành và các đường thẳng \[x = - 3,x = 4\].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \[S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| { - {x^3} + 4x} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{201}}{4}\](đvdt)

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + x - 2\)và trục hoành.

Xem đáp án

Lời giải

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\({x^2} + x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|{\rm{d}}x} \)\( = - \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} + x - 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{2}\).

Câu 3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2}\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1\], \[x = 4\].

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2}\]và trục hoành là:

\[{x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\].

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2}\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1\], \[x = 4\] bằng:

\[S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x} \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x} \right|\]

\[ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4} \right| = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}\].

Câu 4

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^x}\), trục hoành, \(x = 0\), \(x = 2\).

Xem đáp án

Lời giải

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^x}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {{e^x}{\rm{d}}x} = {e^2} - 1\).

Câu 5

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1,x = e\).

Xem đáp án

Lời giải

\(S = \int\limits_1^e {\left| {\frac{1}{x}} \right|} dx = \int\limits_1^e {\frac{1}{x}} dx = \ln x\left| {_1^e} \right. = \ln e - \ln 1 = 1\). Vậy \(S = 1\).

Câu 6