25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải)

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 5 + 2{t^\prime }}\\{z = 1 + 4{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}\).

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\) và d': \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\);

b) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\) và d': \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}\).

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t^\prime }}\\{y = 2 + 5{t^\prime }}\\{z = 3 + {t^\prime }}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 9}}{6}\).

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2 - 3t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}\);

b) \(d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}\).

Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - ta{\rm{ `}}\;}\end{array}} \right.\) \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t^\prime }}\\{y = 7 + 4{t^\prime }}\\{z = 9{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

a) Tim vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} \). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d '?

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + t}\\{y = 7 + t}\\{z = 9 - 8t}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d^\prime }:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 9}}{1}\).

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + t}\\{y = t}\\{z =  - 6 + 2t}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \({d^\prime }:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}\).

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z =  - 2 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1;0;1)\) và song song với đường thẳng \({d^\prime }:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 11 - 6t}\\{y =  - 6 - 3t}\\{z = 10 + 3t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\).

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - 3t,{\Delta _2}}\\{z = 2 - t}\end{array}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + s}\\{y = 1 - 2s}\\{z = 3 + 8s.}\end{array}} \right.} \right.\)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Hỏi đường thẳng \(\Delta \) có vuông góc với trục Oz hay không?

Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}.} \right.\)

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}.\)

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 6 + s}\\{y = 5 + s}\\{z = 5 + 2s.}\end{array}} \right.} \right.\)

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 5{t_1}}\\{y = 2 - {t_1}}\\{z = 3 + 2{t_1}}\end{array},{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 10{t_2}}\\{y = 4 - 2{t_2}}\\{z = 1 + 4{t_2}}\end{array}} \right.} \right.\);

b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 4}}{1},{\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2},{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 3t}\\{y = 8 + 2t}\\{z =  - 1 - t}\end{array}} \right.\)

Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t_1}}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = {t_2}}\\{z = 0.}\end{array}} \right.\)

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;

c) Ðường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);

d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz .

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1 - t}\end{array}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = s}\\{y = 1 + 2s}\\{z = 3s.}\end{array}} \right.} \right.\)

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}.} \right.\)

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{z}{2}{\rm{. }}\)

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1\\ z=3+2t\end{array}\text{ và }{\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2s\\ y=2+s\\ z=1+3s.\end{array}\right.\right.$

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right);}\\{z = 5 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 + 3t(t \in \mathbb{R}){\rm{ và  }}{d^\prime }:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.\)

c) \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).

Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc nhau:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 - t}\\{y =  - 3 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 9}}{2} = \frac{{y - 13}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 7}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 7}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5 - 3t}\\{y =  - 10 - 4t}\\{z = 3 + 7t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số);

b) \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 5t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3t}\end{array}\quad (t} \right.\) là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 6}}\)

c) \({\Delta _1}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{6}\).