Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;

c) Ðường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);

d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz .

a) Ta có các vectơ chỉ phương của \(d\) và \({d^\prime }\) lân lượt là \(\vec a = (1;2; - 1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;4; - 2)\). \({\rm{Vi}}\overrightarrow {{a^\prime }}  = 2\vec a\) nên \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) cùng phương. Từ đó suy ra \(d\) và \({d^\prime }\) song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm \(M(1;0;3) \in d\), ta có \(M \notin {d^\prime }\) nên \(d//{d^\prime }\).

b) Ta có \(d\) và \({d^\prime }\) lản lượt nhận \(\vec a = (2;3;1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;2;2)\) là các vectơ chỉ phương. Vi \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) không cùng phương nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau hoặc chéo nhau. \({d^\prime }\) đi qua \(M(1; - 2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;2;2)\) nên có phương trình tham số là:

\({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3{t^\prime }}\\{y =  - 2 + 2{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right).}\\{z =  - 1 + 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\)\({t^\prime } =  - \frac{2}{5}\), thay vào (3), ta thấy \(t\) và \({t^\prime }\) không thoả mãn (3).

Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) chéo nhau.

c) Ta có: \(d\) đi qua \(M(0;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 1;2)\); \({d^\prime }\) đi qua \({M^\prime }(1;2; - 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (5;1; - 2)\).

Nên phương trình tham số của \(d\) và \({d^\prime }\) lẩn lượt là:

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 5{t^\prime }}\\{1 - t = 2 + {t^\prime }}\\{2t =  - 2 - 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 5{t^\prime } = 1}\\{ - t - {t^\prime } = 1}\\{2t + 2{t^\prime } =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - \frac{2}{3}}\\{{t^\prime } =  - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau.

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua \({\rm{A}}(1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (3;1;2)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua \({\rm{B}}(1; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (3;1;2)\)

vi \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  = (3;1;2)\) và \({\rm{A}} \notin {\Delta _2}\) do đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Có \(\overrightarrow {AB}  = (0; - 4; - 2)\)

Mặt phắng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = ( - 6; - 6;12)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) đi qua \({\rm{A}}(1;3;2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 6; - 6;12)\) có phương trình là: \( - 6({\rm{X}} - \) 1) \( - 6(y - 3) + 12(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 6y - 12z = 0\) hay \(x + y - 2z = 0\).