Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - ta{\rm{ `}}\;}\end{array}} \right.\) \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t^\prime }}\\{y = 7 + 4{t^\prime }}\\{z = 9{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

a) Tim vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} \). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d '?

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{z}{2}{\rm{. }}\)

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc nhau:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 - t}\\{y =  - 3 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 9}}{2} = \frac{{y - 13}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 7}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 7}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5 - 3t}\\{y =  - 10 - 4t}\\{z = 3 + 7t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số);

b) \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 5t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3t}\end{array}\quad (t} \right.\) là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 6}}\)

c) \({\Delta _1}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{6}\).

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 6 + s}\\{y = 5 + s}\\{z = 5 + 2s.}\end{array}} \right.} \right.\)

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 5{t_1}}\\{y = 2 - {t_1}}\\{z = 3 + 2{t_1}}\end{array},{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 10{t_2}}\\{y = 4 - 2{t_2}}\\{z = 1 + 4{t_2}}\end{array}} \right.} \right.\);

b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 4}}{1},{\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2},{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 3t}\\{y = 8 + 2t}\\{z =  - 1 - t}\end{array}} \right.\)

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}{\rm{ và  }}{\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}.} \right.\)

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right);}\\{z = 5 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 + 3t(t \in \mathbb{R}){\rm{ và  }}{d^\prime }:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.\)

c) \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).