(Đúng sai) 41 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}\) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - 2y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\).

a) Vectơ \(\vec u = (2024;2025;2026)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

b) Vectơ có toạ độ \((1;2;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

c) \(\sin \alpha  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\) với \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d,\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

d) $\alpha \approx {50}^{°}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

a) Vectơ \({\vec n_1} = (2; - 3; - 6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\).

b) Vectơ có toạ độ \((2; - 2;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).

c) \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\) với \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

d) $\alpha \approx {69}^{°}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y =  - 2 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\].  Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4; - 1;2} \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y =  - 2 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Điểm \(A\) thuộc đường thẳng \(d.\)

c) Mặt phẳng qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là \(4x + y - 2z - 3 = 0\).

d) Hình chiếu của \(A\) lên \(d\) là \[A'(2\,;\, - 3\,;1\,)\].

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\] và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;2} \right)\).

b) Điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\).

c) Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(A\) và đường thẳng \(d\) có phương trình là \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\].

Trong không gian \[Oxyz\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]có phương trình \[2x + y - 2z + 3 = 0\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Điểm \(M\left( {0; - 2;3} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].

b) Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

c) Đường thẳng \[d\] có phương trình  tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 - t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\].

Trong không gian \[Oxyz\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]có phương trình \[2x + y - 2z + 3 = 0\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Giả sử \[I\left( {a;b;c} \right)\] là giao điểm của đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Khi đó ta có \[a + 2b + 3c = 2\].

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\] và \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4 + 1t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[M\left( { - 3;1; - 2} \right)\] và có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\].

b) Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[N\left( {2;4;1} \right)\] và có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow v  = \left( {5;1; - 3} \right)\].

c) Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] là \[\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right] = \left( {1; - 13;6} \right)\].

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\] và \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4 + 1t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;2;7} \right),B\left( {0;4;4} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow a  = \left( { - 2;3;1} \right)\).

b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1; - 2;3} \right)\).

c) Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 7 - 3t\end{array} \right.\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

b) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(2.\)

c) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.\).

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;0; - 1} \right),C\left( {0;2;3} \right)\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\) là \(M\left( {1;1;1} \right)\).

b) Khoảng cách giữa hai điểm \(B\),\(C\) bằng \(\sqrt 3 \).

c) Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\).

d) Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\). Khi đó \(a + b + c = 3\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\] và điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right)\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;2;0} \right)\).

b) Điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].

c) Đường thẳng \[\Delta \] qua \[A\] và song song với \(d\)có phương trình  tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\].

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\)  và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z =  - 2 + s\end{array} \right.\).

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta '\) có tọa độ là \(\left( {1;\,2;\, - 2} \right)\);

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\);

c) Gọi \(\vec u\), \(\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right) = \frac{{\vec u.\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\);

d) Góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) là 60⁰

Cho hai đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \(d':\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {1; - 1;2} \right)\);

b) \(\vec x = \left( {1; - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d'\);

c) Độ dài của \(\vec x\) bằng 1;

d) Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z = 1\).

a) \(\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\);

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và trục \(Ox\). Khi đó: \(\cos \varphi  = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\);

c) \(E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

d) Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng 30⁰

Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0\).

a) \(\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \);

b) \(M\left( {0;3; - 2} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \);

Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại \(N\left( { - 1;\,4;1} \right)\).

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0\).

a) \(F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Khi đó: \(\sin \varphi  = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\);

c) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) bằng 60⁰ khi \(m = 2\);

d) Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) vuông góc với nhau khi \(m = 1\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.OBCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,2;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)\).

a) Tọa độ điểm \(C\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\);

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(OB\) và \(SC\). Khi đó:  \(\cos \varphi  = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\);

c) \(\vec n = \left( {6;4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\);

d) Góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng 16⁰36'

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;\,0;\,4} \right)\), \(B\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\), \(C\left( {0;\,3;\,0} \right)\), \(D\left( {3;\,0;\,0} \right)\).

a) \({\vec n_1} = \left( {4;\, - 4;\,3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\);

b) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) bằng 45⁰

c) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\). Khi đó: \(\cos \varphi  = \frac{9}{{41}}\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;\,0;\,4} \right)\), \(B\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\), \(C\left( {0;\,3;\,0} \right)\), \(D\left( {3;\,0;\,0} \right)\).

d) $\widehat{BCD}={45}^o$

a) Đường thẳng \[d\] nhận \[\vec u = \left( {3;4;1} \right)\] là một vectơ chỉ phương. 

d) Đường thẳng \[d\] nhận \[\vec u = \left( { - 6; - 8;2} \right)\]là một vectơ chỉ phương.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.{\rm{   }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Điểm \[M\left( {7; - 3; - 1} \right)\] thuộc đường thẳng \[d\].      

b) Điểm \[N\left( { - 1;1; - 5} \right)\] thuộc đường thẳng \[d\].

d) Đường thẳng \[d\] nhận \[\vec u =  - \left( { - 4;2; - 3} \right)\] là một vectơ chỉ phương.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Điểm \(Q\left( {2; - 1;2} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].

b) Điểm \(P\left( {1;2;3} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].

c) Điểm \(M\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].             

d) Điểm \(N\left( { - 2;1; - 2} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].        

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 - t\end{array} \right.\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Điểm \[M\left( { - 3\,;5\,;3} \right)\] không thuộc đường thẳng \[d\].  

d) Điểm \[Q\left( {1\,;2\,; - 3} \right)\] không thuộc đường thẳng \[d\].       

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \[A(1;2;0),\,B(1;1;2)\] và \[C(2;3;1)\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Đường thẳng đi qua \[A\] và song song với \[BC\] có phương trình là \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\]  

c) Điểm \[M\left( {2\,;3\,;1} \right)\] không thuộc đường thẳng \[BC\]. 

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \[A(1;2;0),\,B(1;1;2)\] và \[C(2;3;1)\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

d) Điểm \[N\left( {3\,;5\,;0} \right)\] không thuộc đường thẳng \[BC\].

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;2; - 1)\) và mặt phẳng \(\vec u = (2;4; - 1)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;2; - 1)\) và mặt phẳng \(\vec u = (2;4; - 1)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;2; - 1)\) và mặt phẳng \(\vec u = (2;4; - 1)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;2; - 1)\) và mặt phẳng \(\vec u = (2;4; - 1)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4} và d\text{'}:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Đường thẳng d trùng đường thẳng d'.                

c) Đường thẳng d cắt đường thẳng d'. 

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4} và d\text{'}:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-1+4t\\ z=4+5t\end{array}\right.$

d) Phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\ y=-1+4t\\ z=4+5t\end{array}\right.$

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1;\; - 2;\;1} \right)\), \(N\left( {0;\;1;\;3} \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(M\),  là \[\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\].

c) Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(M\), \(N\) là \[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\].  

d) Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(M\), \(N\) là \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\].

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], đường thẳng có phương trình tham số là \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], đường thẳng có phương trình tham số là \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\)

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\)     

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], đường thẳng có phương trình tham số là \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

d) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{1 - x}}{{ - 2}} = \frac{{2 - y}}{1} = \frac{{ - z - 3}}{{ - 1}}\)

Trong không gian Oxyz, cho điểm \[A\left( {1;2;3} \right)\] và đường thẳng \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\]: \(\frac{{x + 4}}{{ - 2}} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{1}\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

c) Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[A\] và song song với đường thẳng \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\] có phương trình là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}$

a) Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\) có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=-2+4t\\ z=3-t\end{array}\right.$

b) Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\) có phương trình là: $\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+3}{1}.$

c) Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\) có phương trình là: $\frac{x-2}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{9}.$

d) Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\) có phương trình là: $\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-3}{1}.$

a) Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: $\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$.   

b) Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: $\frac{z+1}{4}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$.

c) Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}$.

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho ba điểm \[A\left( {1;1;0} \right),B\left( {1;0;1} \right),C\left( {3;1;0} \right)\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

d) Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=1-2t\\ z=2t\end{array}\right.$.

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y - 1 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\] có phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\]

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y - 1 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\] có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2t\\ z=1-t\end{array}\right.$

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y - 1 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

c) Đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\] có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1\\ z=-t\end{array}\right.$

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], cho điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y - 1 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

d) Đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\] có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1+2t\\ z=-t\end{array}\right.$

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M( - 1;3;2)\) và mặt phẳng \((P):x - 2y + 4z + 1 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - t\\y = 3 + 2t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\).

c) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\frac{{1 - x}}{{ - 1}} = \frac{{ - y - 3}}{2} = \frac{{ - z - 2}}{{ - 4}}\).            

d) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4}\).

a) Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+6t\\ y=-10t\\ z=2+4t\end{array}\right.$

c) Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).   

d) Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là: $\frac{x-2}{-3}=\frac{y}{5}=\frac{z-2}{2}$.

b) Đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 8t\\y =  - 4 - 6t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\). 

c) Đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 4t\\y =  - 2 - 3t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).

d) Đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y =  - 1 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 3y - z + 1 = 0\), \(\left( \beta  \right):2x - y + z - 7 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 3y - z + 1 = 0\), \(\left( \beta  \right):2x - y + z - 7 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)và \(\left( \beta  \right)\)là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\)

c) Phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)và \(\left( \beta  \right)\)là \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 10}}{7}\)  

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x - y + 2 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng 135⁰.       

b) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng 45⁰

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x - y + 2 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

c) Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau.       

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x - y + 2 = 0\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

d) Điểm \(M\left( {0;5;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( Q \right):\,x - y - 5 = 0\), và biết hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(H\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 2} \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng 45^o

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( Q \right):\,x - y - 5 = 0\), và biết hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(H\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 2} \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba mặt phẳng \((P):\,\,2x\,\, - \,\,y\,\, + \,\,2z\,\, + \,\,3\,\, = \,\,0\,\,\) , \((Q):\,\,x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,1\), \((R):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,2z\,\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,0\). Gọi \({\alpha _1};\,\,{\alpha _2};\,\,{\alpha _3}\) lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) ${\alpha }_1>{\alpha }_3>{\alpha }_2.$

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba mặt phẳng \((P):\,\,2x\,\, - \,\,y\,\, + \,\,2z\,\, + \,\,3\,\, = \,\,0\,\,\) , \((Q):\,\,x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,1\), \((R):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,2z\,\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,0\). Gọi \({\alpha _1};\,\,{\alpha _2};\,\,{\alpha _3}\) lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba mặt phẳng \((P):\,\,2x\,\, - \,\,y\,\, + \,\,2z\,\, + \,\,3\,\, = \,\,0\,\,\) , \((Q):\,\,x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,1\), \((R):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,2z\,\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,0\). Gọi \({\alpha _1};\,\,{\alpha _2};\,\,{\alpha _3}\) lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba mặt phẳng \((P):\,\,2x\,\, - \,\,y\,\, + \,\,2z\,\, + \,\,3\,\, = \,\,0\,\,\) , \((Q):\,\,x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,1\), \((R):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,2z\,\,\,\, - \,\,2\,\, = \,\,0\). Gọi \({\alpha _1};\,\,{\alpha _2};\,\,{\alpha _3}\) lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm \(A\left( {0;\, - 2;0} \right)\);

b) Tọa độ của điểm \(B'\left( {4;\,0;\,6} \right)\);

c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\vec u = \left( {0;1;2} \right)\);

d) Góc giữa mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà bằng 26⁰34'

a) Tọa độ giao điểm I của d và d' là I(1; -2; 4).     

b) Tọa độ giao điểm I của d và d’ là I(1; 2; 4).         

c) Đường thẳng d cắt đường thẳng d’. 

d) Đường thẳng d chéo đường thẳng d’.

a) Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau.           

b) Đường thẳng \({d_3}\) cắt đường thẳng \({d_2}\). 

c) Đường thẳng \({d_4}\) không cắt đường thẳng \({d_1}\). 

d) Đường thẳng d₃ cắt đường thẳng d₁