(Đúng sai) 41 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}\) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - 2y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\).

a) Vectơ \(\vec u = (2024;2025;2026)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

b) Vectơ có toạ độ \((1;2;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

c) \(\sin \alpha  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\) với \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d,\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

d) $\alpha \approx {50}^{°}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

a) Vectơ \({\vec n_1} = (2; - 3; - 6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\).

b) Vectơ có toạ độ \((2; - 2;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).

c) \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\) với \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

d) $\alpha \approx {69}^{°}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y =  - 2 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\].  Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4; - 1;2} \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y =  - 2 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?

b) Điểm \(A\) thuộc đường thẳng \(d.\)

c) Mặt phẳng qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là \(4x + y - 2z - 3 = 0\).

d) Hình chiếu của \(A\) lên \(d\) là \[A'(2\,;\, - 3\,;1\,)\].

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\] và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;2} \right)\).

b) Điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\).

c) Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(A\) và đường thẳng \(d\) có phương trình là \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\].

Trong không gian \[Oxyz\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]có phương trình \[2x + y - 2z + 3 = 0\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Điểm \(M\left( {0; - 2;3} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].

b) Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

c) Đường thẳng \[d\] có phương trình  tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 - t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\].

Trong không gian \[Oxyz\] cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]có phương trình \[2x + y - 2z + 3 = 0\]. Các khẳng định sau đúng hay sai?

d) Giả sử \[I\left( {a;b;c} \right)\] là giao điểm của đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Khi đó ta có \[a + 2b + 3c = 2\].