Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3; - 1} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).

Nghiệm của đạo hàm: \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 \notin \left[ { - 3; - 1} \right]}\\{x = - 2 \in \left[ { - 3; - 1} \right]}\end{array}} \right.\).

Tính giá trị tại các đầu mút và điểm cực trị:

\(\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( { - 3} \right) = 1 - 3 - \frac{4}{3} = - \frac{{10}}{3}}\\{y\left( { - 2} \right) = 1 - 2 - \frac{4}{2} = - 3}\\{y\left( { - 1} \right) = 1 - 1 - 4 = - 4}\end{array}\)

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3; - 1} \right]\) là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} y = - 4\) tại \(x = - 1\).

Chọn đáp án: C.

Tọa độ trung điểm \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) của đoạn thẳng \(MN\) được tính bằng công thức:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{3 + 0}}{2} = \frac{3}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{4 + 1}}{2} = \frac{5}{2}}\\{{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2} = \frac{{6 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 2}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};2} \right)} \right.\)

Chọn đáp án: D.

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy đồ thị đi lên rồi đi xuống khi qua điểm \(x = 0\), nghĩa là hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) với giá trị cực đại tương ứng là \(y\left( 0 \right) = 0\).

Điểm cực đại của hàm số là \(x = 0\).

Chọn đáp án: A.

Theo định nghĩa trong chương trình Toán 12, phương sai \({s^2}\) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng công thức:

\({s^2} = \frac{{{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + \ldots + {n_k}c_k^2}}{n} - {\bar x^2}\)

Chọn đáp án: A.

Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {OM} \) theo các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\): \(\overrightarrow {OM} = - 3\vec i + 2\vec j - \vec k \Rightarrow M\left( { - 3;2; - 1} \right)\).

Điểm \(M'\) đối xứng với \(M\left( { - 3;2; - 1} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sẽ giữ nguyên hoành độ, tung độ và đổi dấu cao độ: \({x_{M'}} = - 3,\quad {y_{M'}} = 2,\quad {z_{M'}} = - \left( { - 1} \right) = 1 \Rightarrow M'\left( { - 3;2;1} \right)\).

Chọn đáp án: A.

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) trước hết phải có tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Loại phương án A và C vì có tập xác định chứa điểm gián đoạn (\(x \ne - 3\) và \(x \ne 2\)).

Xét hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2}\) (Phương án D): Là hàm trùng phương chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung và luôn có cực trị, không thể đồng biến trên toàn bộ tập \(\mathbb{R}\).

Xét hàm số \(y = {x^3} + 2x\) (Phương án B):

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
• Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
• Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) hay đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Nhìn vào dạng đồ thị: Đây là đồ thị của hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có nhánh ngoài cùng bên phải đi lên, suy ra hệ số \(a > 0\). Loại phương án B.

Giao điểm của đồ thị với trục tung \(Oy\) là tại điểm có tung độ dương, nghĩa là khi \(x = 0\) thì \(y > 0\). Thế \(x = 0\) vào các phương án còn lại:

• Với \(y = {x^3} - 3x + 1\) (Phương án A): \(y\left( 0 \right) = 1\) (Thỏa mãn).
• Với \(y = {x^3} - 3x - 4\) (Phương án C): \(y\left( 0 \right) = - 4\) (Không thỏa mãn).
• Với \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) (Phương án D): \(y\left( 0 \right) = - 1\) (Không thỏa mãn).

• \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
• \(y\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 = 3\) (khớp với đồ thị).
• \(y\left( 1 \right) = {1^3} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\) (khớp với đồ thị).

Hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi có số thực \(k \ne 0\) sao cho \(\vec b = k\vec a\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = k \cdot 1}\\{m - 1 = k \cdot 3}\\{2n + 3 = k \cdot \left( { - 2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 2}\\{m - 1 = 6}\\{2n + 3 = - 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 7}\\{n = - \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\).

Tính giá trị biểu thức \(S\): \(S = m - 2n = 7 - 2 \cdot \left( { - \frac{7}{2}} \right) = 7 + 7 = 14\).

Chọn đáp án: B.