Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A\left( {3;7;5} \right)\) đến vị trí \(B\left( {10;8;3} \right)\) và tiếp tục bay thẳng theo hướng, vận tốc đó hạ cánh tại vị trí \(M\left( {a;b;0} \right)\). Tính \(S = b - a\).

Đáp án:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho tia \(OD\) trùng với nửa trục dương \(Oy\) và tia \(OE\) trùng với nửa trục dương \(Ox\).

Khi đó:

• Điểm \(M\) cách \(Oy\) một khoảng \(125{\rm{\;m}} = 0,125{\rm{\;km}}\) và cách \(Ox\) một khoảng \(1{\rm{\;km}}\). Do đó, tọa độ của \(M\) là \(M\left( {0,125;1} \right)\).
• Điểm \(A\) thuộc \(Oy\) nên \(A\left( {0;a} \right)\) với \(a > 1\).
• Điểm \(B\) thuộc \(Ox\) nên \(B\left( {b;0} \right)\) với \(b > 0,125\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;a} \right)\) và \(B\left( {b;0} \right)\) nên có phương trình đoạn chắn: \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\).

Vì đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(M\left( {0,125;1} \right)\), ta có:

\(\frac{{0,125}}{b} + \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} = 1 - \frac{{0,125}}{b} = \frac{{b - 0,125}}{b} \Rightarrow a = \frac{b}{{b - 0,125}}\).

Ta có \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{b}{{b - 0,125}}} \right)}^2} + {b^2}} = b\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {b - 0,125} \right)}^2}}} + 1} \).

Để chi phí làm đường thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Đặt \(x = b - 0,125 > 0 \Rightarrow b = x + 0,125\). Khi đó:

\(L\left( x \right) = A{B^2} = {\left( {x + 0,125} \right)^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = {\left( {x + 0,125} \right)^2} \cdot \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{{x + 0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\left( {1 + \frac{{0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( { - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {2x} \right)\)

\( = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{{{x^2} + 1}}{{8{x^2}}} + x\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{1}{8} - \frac{1}{{8{x^2}}} + x + \frac{1}{8}} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( {x - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{{8{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} = 0,5\).

Với \(x = 0,5\):

\(A{B_{{\rm{min}}}} = \sqrt {f\left( {0,5} \right)} = \left( {1 + \frac{{0,125}}{{0,5}}} \right)\sqrt {0,{5^2} + 1} = \left( {1 + 0,25} \right)\sqrt {1,25} = 1,25 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{{5\sqrt 5 }}{8} \approx 1,39754{\rm{\;km}} \approx 1397,54{\rm{\;m}}\)

Chi phí làm \(100{\rm{\;m}}\) đường là \(155\) triệu đồng \( \Rightarrow \) Chi phí làm \(1{\rm{\;m}}\) đường là \(1,55\) triệu đồng.

Tổng chi phí thấp nhất: \(T = 1397,54 \times 1,55 = 2166,19\) triệu đồng \( \approx 2,17\) tỉ đồng.

Đáp số: 2,17.

Đáp án:

Thời gian bay: \(t = 20{\rm{\;ph\'u t}} = \frac{1}{3}\) giờ.

Quãng đường bay: \(S = v \cdot t = 900 \cdot \frac{1}{3} = 300{\rm{\;km}}\).

Vectơ hướng bay là \(\vec u = \left( {120;110;1} \right)\). Độ dài của vectơ \(\vec u\) là:

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{120}^2} + {{110}^2} + {1^2}} = \sqrt {14400 + 12100 + 1} = \sqrt {26501} \).

Vectơ vận tốc (đơn vị) theo hướng bay là:

\(\vec e = \frac{{\vec u}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \left( {\frac{{120}}{{\sqrt {26501} }};\frac{{110}}{{\sqrt {26501} }};\frac{1}{{\sqrt {26501} }}} \right)\)

Tọa độ điểm \(B\) sau khi di chuyển quãng đường \(S = 300{\rm{\;km}}\) từ \(A\) là:

\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + S \cdot \vec e\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 400 + 300 \cdot \frac{{120}}{{\sqrt {26501} }}}\\{b = 300 + 300 \cdot \frac{{110}}{{\sqrt {26501} }}}\\{c = 6 + 300 \cdot \frac{1}{{\sqrt {26501} }}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(a + b + c = 400 + 300 + 6 + 300 \cdot \frac{{120 + 110 + 1}}{{\sqrt {26501} }} = 706 + 300 \cdot \frac{{231}}{{\sqrt {26501} }} \approx 706 + 425,70 = 1131,7\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị là \(1132\).

Đáp số: 1132.