Trong không gian với một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển từ điểm \(A\left( {400;300;6} \right)\) theo hướng \(\vec u = \left( {120;110;1} \right)\) và vận tốc không đổi \(v = 900{\rm{\;km/h}}\). Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 20 phút là \(B\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho tia \(OD\) trùng với nửa trục dương \(Oy\) và tia \(OE\) trùng với nửa trục dương \(Ox\).

Khi đó:

• Điểm \(M\) cách \(Oy\) một khoảng \(125{\rm{\;m}} = 0,125{\rm{\;km}}\) và cách \(Ox\) một khoảng \(1{\rm{\;km}}\). Do đó, tọa độ của \(M\) là \(M\left( {0,125;1} \right)\).
• Điểm \(A\) thuộc \(Oy\) nên \(A\left( {0;a} \right)\) với \(a > 1\).
• Điểm \(B\) thuộc \(Ox\) nên \(B\left( {b;0} \right)\) với \(b > 0,125\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;a} \right)\) và \(B\left( {b;0} \right)\) nên có phương trình đoạn chắn: \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\).

Vì đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(M\left( {0,125;1} \right)\), ta có:

\(\frac{{0,125}}{b} + \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} = 1 - \frac{{0,125}}{b} = \frac{{b - 0,125}}{b} \Rightarrow a = \frac{b}{{b - 0,125}}\).

Ta có \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{b}{{b - 0,125}}} \right)}^2} + {b^2}} = b\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {b - 0,125} \right)}^2}}} + 1} \).

Để chi phí làm đường thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Đặt \(x = b - 0,125 > 0 \Rightarrow b = x + 0,125\). Khi đó:

\(L\left( x \right) = A{B^2} = {\left( {x + 0,125} \right)^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = {\left( {x + 0,125} \right)^2} \cdot \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{{x + 0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\left( {1 + \frac{{0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( { - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {2x} \right)\)

\( = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{{{x^2} + 1}}{{8{x^2}}} + x\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{1}{8} - \frac{1}{{8{x^2}}} + x + \frac{1}{8}} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( {x - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{{8{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} = 0,5\).

Với \(x = 0,5\):

\(A{B_{{\rm{min}}}} = \sqrt {f\left( {0,5} \right)} = \left( {1 + \frac{{0,125}}{{0,5}}} \right)\sqrt {0,{5^2} + 1} = \left( {1 + 0,25} \right)\sqrt {1,25} = 1,25 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{{5\sqrt 5 }}{8} \approx 1,39754{\rm{\;km}} \approx 1397,54{\rm{\;m}}\)

Chi phí làm \(100{\rm{\;m}}\) đường là \(155\) triệu đồng \( \Rightarrow \) Chi phí làm \(1{\rm{\;m}}\) đường là \(1,55\) triệu đồng.

Tổng chi phí thấp nhất: \(T = 1397,54 \times 1,55 = 2166,19\) triệu đồng \( \approx 2,17\) tỉ đồng.

Đáp số: 2,17.

Đáp án:

Từ đồ thị hàm số, ta xác định các đường tiệm cận và điểm đi qua:

Đường tiệm cận đứng là \(x = 1\). Theo công thức, tiệm cận đứng là \(x = - \frac{c}{2}\)\( \Rightarrow - \frac{c}{2} = 1 \Rightarrow c = - 2\).

Đường tiệm cận ngang là \(y = 1\). Theo công thức, tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{2}\)\( \Rightarrow \frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2\).

Đồ thị đi qua điểm có tọa độ \(\left( {2;0} \right)\). Thế vào phương trình hàm số ta được:

\(0 = \frac{{a \cdot 2 + b}}{{2 \cdot 2 + c}} \Rightarrow 2a + b = 0 \Rightarrow 2 \cdot 2 + b = 0 \Rightarrow b = - 4\).

Từ đó, ta tính được tích: \(P = abc = 2 \cdot \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 16\).

Đáp số: 16.