Trong không gian với một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển từ điểm \(A\left( {400;300;6} \right)\) theo hướng \(\vec u = \left( {120;110;1} \right)\) và vận tốc không đổi \(v = 900{\rm{\;km/h}}\). Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 20 phút là \(B\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho tia \(OD\) trùng với nửa trục dương \(Oy\) và tia \(OE\) trùng với nửa trục dương \(Ox\).

Khi đó:

• Điểm \(M\) cách \(Oy\) một khoảng \(125{\rm{\;m}} = 0,125{\rm{\;km}}\) và cách \(Ox\) một khoảng \(1{\rm{\;km}}\). Do đó, tọa độ của \(M\) là \(M\left( {0,125;1} \right)\).
• Điểm \(A\) thuộc \(Oy\) nên \(A\left( {0;a} \right)\) với \(a > 1\).
• Điểm \(B\) thuộc \(Ox\) nên \(B\left( {b;0} \right)\) với \(b > 0,125\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;a} \right)\) và \(B\left( {b;0} \right)\) nên có phương trình đoạn chắn: \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\).

Vì đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(M\left( {0,125;1} \right)\), ta có:

\(\frac{{0,125}}{b} + \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} = 1 - \frac{{0,125}}{b} = \frac{{b - 0,125}}{b} \Rightarrow a = \frac{b}{{b - 0,125}}\).

Ta có \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{b}{{b - 0,125}}} \right)}^2} + {b^2}} = b\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {b - 0,125} \right)}^2}}} + 1} \).

Để chi phí làm đường thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Đặt \(x = b - 0,125 > 0 \Rightarrow b = x + 0,125\). Khi đó:

\(L\left( x \right) = A{B^2} = {\left( {x + 0,125} \right)^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = {\left( {x + 0,125} \right)^2} \cdot \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{{x + 0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\left( {1 + \frac{{0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( { - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {2x} \right)\)

\( = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{{{x^2} + 1}}{{8{x^2}}} + x\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{1}{8} - \frac{1}{{8{x^2}}} + x + \frac{1}{8}} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( {x - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{{8{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} = 0,5\).

Với \(x = 0,5\):

\(A{B_{{\rm{min}}}} = \sqrt {f\left( {0,5} \right)} = \left( {1 + \frac{{0,125}}{{0,5}}} \right)\sqrt {0,{5^2} + 1} = \left( {1 + 0,25} \right)\sqrt {1,25} = 1,25 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{{5\sqrt 5 }}{8} \approx 1,39754{\rm{\;km}} \approx 1397,54{\rm{\;m}}\)

Chi phí làm \(100{\rm{\;m}}\) đường là \(155\) triệu đồng \( \Rightarrow \) Chi phí làm \(1{\rm{\;m}}\) đường là \(1,55\) triệu đồng.

Tổng chi phí thấp nhất: \(T = 1397,54 \times 1,55 = 2166,19\) triệu đồng \( \approx 2,17\) tỉ đồng.

Đáp số: 2,17.

Từ đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\), ta xác định các thông tin sau:

• Đồ thị có hai điểm cực trị là cực đại \(A\left( {0;2} \right)\) và cực tiểu \(B\left( {2; - 2} \right)\).
• Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

a) ĐÚNG. Tọa độ hai điểm cực trị là \(A\left( {0;2} \right)\) và \(B\left( {2; - 2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là:

\(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).

b) SAI.Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\). Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = 2x \cdot f'\left( {{x^2}} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{f'\left( {{x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\).

Từ đồ thị của \(f\left( x \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 2\). Do đó: \(f'\left( {{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 0}\\{{x^2} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Vậy các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) là:

• \(x = 0\) (nghiệm bội ba, do xuất hiện từ \(2x = 0\) và nghiệm kép \({x^2} = 0\) của \(f'\left( {{x^2}} \right) = 0\)). Đạo hàm đổi dấu khi qua \(x = 0\).
• \(x = \pm \sqrt 2 \) (các nghiệm đơn, đạo hàm đổi dấu).

Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng \(3\) điểm cực trị (\(x = 0,x = \sqrt 2 ,x = - \sqrt 2 \)).

c) SAI. Trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), vẽ đường thẳng \(x = 2\), ta thấy đường thẳng này cắt đồ thị tại điểm có tung độ nhỏ hơn \( - 2\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nhỏ hơn \( - 2\).

d) SAI. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) chứ không phải trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Lưu ý: Từ đồ thị, ta có thể tìm ra chính xác công thức của hàm số \(f\left( x \right)\), từ đó cũng có thể suy ra được các yêu cầu của bài toán.