Người ta muốn xây một đoạn đường \(AB\) (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm \(M\). Biết rằng vị trí điểm \(M\) cách \(OD\) là \(125{\rm{\;m}}\) và cách \(OE\) là \(1{\rm{\;km}}\). Giả sử chi phí để làm \(100{\rm{\;m}}\) đường là \(155\) triệu đồng. Chọn vị trí của \(A\) và \(B\) để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu tỷ đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Thời gian bay: \(t = 20{\rm{\;ph\'u t}} = \frac{1}{3}\) giờ.

Quãng đường bay: \(S = v \cdot t = 900 \cdot \frac{1}{3} = 300{\rm{\;km}}\).

Vectơ hướng bay là \(\vec u = \left( {120;110;1} \right)\). Độ dài của vectơ \(\vec u\) là:

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{120}^2} + {{110}^2} + {1^2}} = \sqrt {14400 + 12100 + 1} = \sqrt {26501} \).

Vectơ vận tốc (đơn vị) theo hướng bay là:

\(\vec e = \frac{{\vec u}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \left( {\frac{{120}}{{\sqrt {26501} }};\frac{{110}}{{\sqrt {26501} }};\frac{1}{{\sqrt {26501} }}} \right)\)

Tọa độ điểm \(B\) sau khi di chuyển quãng đường \(S = 300{\rm{\;km}}\) từ \(A\) là:

\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + S \cdot \vec e\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 400 + 300 \cdot \frac{{120}}{{\sqrt {26501} }}}\\{b = 300 + 300 \cdot \frac{{110}}{{\sqrt {26501} }}}\\{c = 6 + 300 \cdot \frac{1}{{\sqrt {26501} }}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(a + b + c = 400 + 300 + 6 + 300 \cdot \frac{{120 + 110 + 1}}{{\sqrt {26501} }} = 706 + 300 \cdot \frac{{231}}{{\sqrt {26501} }} \approx 706 + 425,70 = 1131,7\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị là \(1132\).

Đáp số: 1132.

Từ đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\), ta xác định các thông tin sau:

• Đồ thị có hai điểm cực trị là cực đại \(A\left( {0;2} \right)\) và cực tiểu \(B\left( {2; - 2} \right)\).
• Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

a) ĐÚNG. Tọa độ hai điểm cực trị là \(A\left( {0;2} \right)\) và \(B\left( {2; - 2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là:

\(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).

b) SAI.Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\). Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = 2x \cdot f'\left( {{x^2}} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{f'\left( {{x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\).

Từ đồ thị của \(f\left( x \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 2\). Do đó: \(f'\left( {{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 0}\\{{x^2} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Vậy các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) là:

• \(x = 0\) (nghiệm bội ba, do xuất hiện từ \(2x = 0\) và nghiệm kép \({x^2} = 0\) của \(f'\left( {{x^2}} \right) = 0\)). Đạo hàm đổi dấu khi qua \(x = 0\).
• \(x = \pm \sqrt 2 \) (các nghiệm đơn, đạo hàm đổi dấu).

Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng \(3\) điểm cực trị (\(x = 0,x = \sqrt 2 ,x = - \sqrt 2 \)).

c) SAI. Trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), vẽ đường thẳng \(x = 2\), ta thấy đường thẳng này cắt đồ thị tại điểm có tung độ nhỏ hơn \( - 2\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nhỏ hơn \( - 2\).

d) SAI. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) chứ không phải trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Lưu ý: Từ đồ thị, ta có thể tìm ra chính xác công thức của hàm số \(f\left( x \right)\), từ đó cũng có thể suy ra được các yêu cầu của bài toán.