Người ta muốn xây một đoạn đường \(AB\) (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm \(M\). Biết rằng vị trí điểm \(M\) cách \(OD\) là \(125{\rm{\;m}}\) và cách \(OE\) là \(1{\rm{\;km}}\). Giả sử chi phí để làm \(100{\rm{\;m}}\) đường là \(155\) triệu đồng. Chọn vị trí của \(A\) và \(B\) để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu tỷ đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho tia \(OD\) trùng với nửa trục dương \(Oy\) và tia \(OE\) trùng với nửa trục dương \(Ox\).

Khi đó:

• Điểm \(M\) cách \(Oy\) một khoảng \(125{\rm{\;m}} = 0,125{\rm{\;km}}\) và cách \(Ox\) một khoảng \(1{\rm{\;km}}\). Do đó, tọa độ của \(M\) là \(M\left( {0,125;1} \right)\).
• Điểm \(A\) thuộc \(Oy\) nên \(A\left( {0;a} \right)\) với \(a > 1\).
• Điểm \(B\) thuộc \(Ox\) nên \(B\left( {b;0} \right)\) với \(b > 0,125\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;a} \right)\) và \(B\left( {b;0} \right)\) nên có phương trình đoạn chắn: \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\).

Vì đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(M\left( {0,125;1} \right)\), ta có:

\(\frac{{0,125}}{b} + \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} = 1 - \frac{{0,125}}{b} = \frac{{b - 0,125}}{b} \Rightarrow a = \frac{b}{{b - 0,125}}\).

Ta có \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{b}{{b - 0,125}}} \right)}^2} + {b^2}} = b\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {b - 0,125} \right)}^2}}} + 1} \).

Để chi phí làm đường thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Đặt \(x = b - 0,125 > 0 \Rightarrow b = x + 0,125\). Khi đó:

\(L\left( x \right) = A{B^2} = {\left( {x + 0,125} \right)^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = {\left( {x + 0,125} \right)^2} \cdot \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{{x + 0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\left( {1 + \frac{{0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( { - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {2x} \right)\)

\( = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{{{x^2} + 1}}{{8{x^2}}} + x\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{1}{8} - \frac{1}{{8{x^2}}} + x + \frac{1}{8}} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( {x - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{{8{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} = 0,5\).

Với \(x = 0,5\):

\(A{B_{{\rm{min}}}} = \sqrt {f\left( {0,5} \right)} = \left( {1 + \frac{{0,125}}{{0,5}}} \right)\sqrt {0,{5^2} + 1} = \left( {1 + 0,25} \right)\sqrt {1,25} = 1,25 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{{5\sqrt 5 }}{8} \approx 1,39754{\rm{\;km}} \approx 1397,54{\rm{\;m}}\)

Chi phí làm \(100{\rm{\;m}}\) đường là \(155\) triệu đồng \( \Rightarrow \) Chi phí làm \(1{\rm{\;m}}\) đường là \(1,55\) triệu đồng.

Tổng chi phí thấp nhất: \(T = 1397,54 \times 1,55 = 2166,19\) triệu đồng \( \approx 2,17\) tỉ đồng.

Đáp số: 2,17.