Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm là một phần đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 1}}\) (\(x > 0\)) như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng 100 sản phẩm và mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng 1000USD).

Biết rằng đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\frac{4}{3}} \right)\) và \(B\left( {3;2} \right)\). Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bởi hàm số \(R\left( x \right) = {x^2} + 2x\) và lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250 USD. Tìm tổng chi phí (nghìn đô) khi doanh nghiệp sản xuất 300 sản phẩm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho tia \(OD\) trùng với nửa trục dương \(Oy\) và tia \(OE\) trùng với nửa trục dương \(Ox\).

Khi đó:

• Điểm \(M\) cách \(Oy\) một khoảng \(125{\rm{\;m}} = 0,125{\rm{\;km}}\) và cách \(Ox\) một khoảng \(1{\rm{\;km}}\). Do đó, tọa độ của \(M\) là \(M\left( {0,125;1} \right)\).
• Điểm \(A\) thuộc \(Oy\) nên \(A\left( {0;a} \right)\) với \(a > 1\).
• Điểm \(B\) thuộc \(Ox\) nên \(B\left( {b;0} \right)\) với \(b > 0,125\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;a} \right)\) và \(B\left( {b;0} \right)\) nên có phương trình đoạn chắn: \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\).

Vì đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(M\left( {0,125;1} \right)\), ta có:

\(\frac{{0,125}}{b} + \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} = 1 - \frac{{0,125}}{b} = \frac{{b - 0,125}}{b} \Rightarrow a = \frac{b}{{b - 0,125}}\).

Ta có \(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{b}{{b - 0,125}}} \right)}^2} + {b^2}} = b\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {b - 0,125} \right)}^2}}} + 1} \).

Để chi phí làm đường thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AB\).

Đặt \(x = b - 0,125 > 0 \Rightarrow b = x + 0,125\). Khi đó:

\(L\left( x \right) = A{B^2} = {\left( {x + 0,125} \right)^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = {\left( {x + 0,125} \right)^2} \cdot \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{{x + 0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\left( {1 + \frac{{0,125}}{x}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( { - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + {\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)^2}\left( {2x} \right)\)

\( = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{{{x^2} + 1}}{{8{x^2}}} + x\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left[ { - \frac{1}{8} - \frac{1}{{8{x^2}}} + x + \frac{1}{8}} \right] = 2\left( {1 + \frac{1}{{8x}}} \right)\left( {x - \frac{1}{{8{x^2}}}} \right)\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{{8{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} = 0,5\).

Với \(x = 0,5\):

\(A{B_{{\rm{min}}}} = \sqrt {f\left( {0,5} \right)} = \left( {1 + \frac{{0,125}}{{0,5}}} \right)\sqrt {0,{5^2} + 1} = \left( {1 + 0,25} \right)\sqrt {1,25} = 1,25 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{{5\sqrt 5 }}{8} \approx 1,39754{\rm{\;km}} \approx 1397,54{\rm{\;m}}\)

Chi phí làm \(100{\rm{\;m}}\) đường là \(155\) triệu đồng \( \Rightarrow \) Chi phí làm \(1{\rm{\;m}}\) đường là \(1,55\) triệu đồng.

Tổng chi phí thấp nhất: \(T = 1397,54 \times 1,55 = 2166,19\) triệu đồng \( \approx 2,17\) tỉ đồng.

Đáp số: 2,17.

Đáp án:

Thời gian bay: \(t = 20{\rm{\;ph\'u t}} = \frac{1}{3}\) giờ.

Quãng đường bay: \(S = v \cdot t = 900 \cdot \frac{1}{3} = 300{\rm{\;km}}\).

Vectơ hướng bay là \(\vec u = \left( {120;110;1} \right)\). Độ dài của vectơ \(\vec u\) là:

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{120}^2} + {{110}^2} + {1^2}} = \sqrt {14400 + 12100 + 1} = \sqrt {26501} \).

Vectơ vận tốc (đơn vị) theo hướng bay là:

\(\vec e = \frac{{\vec u}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \left( {\frac{{120}}{{\sqrt {26501} }};\frac{{110}}{{\sqrt {26501} }};\frac{1}{{\sqrt {26501} }}} \right)\)

Tọa độ điểm \(B\) sau khi di chuyển quãng đường \(S = 300{\rm{\;km}}\) từ \(A\) là:

\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + S \cdot \vec e\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 400 + 300 \cdot \frac{{120}}{{\sqrt {26501} }}}\\{b = 300 + 300 \cdot \frac{{110}}{{\sqrt {26501} }}}\\{c = 6 + 300 \cdot \frac{1}{{\sqrt {26501} }}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(a + b + c = 400 + 300 + 6 + 300 \cdot \frac{{120 + 110 + 1}}{{\sqrt {26501} }} = 706 + 300 \cdot \frac{{231}}{{\sqrt {26501} }} \approx 706 + 425,70 = 1131,7\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị là \(1132\).

Đáp số: 1132.