Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP.HCM) có đáp án

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \(R\), là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Dựa vào bảng số liệu, nhóm đầu tiên là \(\left[ {80;82} \right)\) nên đầu mút trái là \({x_{{\rm{min}}}} = 80\). Nhóm cuối cùng là nên đầu mút phải là \({x_{{\rm{max}}}} = 90\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 90 - 80 = 10{\rm{\;(gam)}}\).

Chọn D.

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Ta tính đạo hàm của hàm số: \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Ta xét dấu \(y'\):

• Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.
• Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Chọn C.

Trước hết, ta xác định giá trị đại diện \({x_i}\) của từng nhóm số liệu bằng cách lấy trung bình cộng hai đầu mút:

• Nhóm \(\left[ {44;46} \right)\) có giá trị đại diện \({x_1} = 45\), tần số \({n_1} = 3\).
• Nhóm \(\left[ {46;48} \right)\) có giá trị đại diện \({x_2} = 47\), tần số \({n_2} = 3\).
• Nhóm \(\left[ {48;50} \right)\) có giá trị đại diện \({x_3} = 49\), tần số \({n_3} = 10\).
• Nhóm \(\left[ {50;52} \right)\) có giá trị đại diện \({x_4} = 51\), tần số \({n_4} = 15\).
• Nhóm \(\left[ {52;54} \right)\) có giá trị đại diện \({x_5} = 53\), tần số \({n_5} = 7\).
• Nhóm \(\left[ {54;56} \right)\) có giá trị đại diện \({x_6} = 55\), tần số \({n_6} = 2\).

Tổng số trẻ thu thập được là \(N = 3 + 3 + 10 + 15 + 7 + 2 = 40\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{3 \cdot 45 + 3 \cdot 47 + 10 \cdot 49 + 15 \cdot 51 + 7 \cdot 53 + 2 \cdot 55}}{{40}} = \frac{{2012}}{{40}} = 50,3{\rm{\;(cm)}}\).

Phương sai của mẫu số liệu là

\({s^2} = \frac{{3{{\left( {45 - 50,3} \right)}^2} + 3{{\left( {47 - 50,3} \right)}^2} + 10{{\left( {49 - 50,3} \right)}^2} + 15{{\left( {51 - 50,3} \right)}^2} + 7{{\left( {53 - 50,3} \right)}^2} + 2{{\left( {55 - 50,3} \right)}^2}}}{{40}}\)\( = \frac{{236,4}}{{40}} = 5,91\).

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {5,91} \approx 2,43{\rm{\;(cm)}}\).

Chọn A.

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và xác định trên đoạn \(\left[ { - 4;1} \right]\).

Đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 12x - 9\).

Xét phương trình đạo hàm bằng 0: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \in \left[ { - 4;1} \right]}\\{x = - 3 \in \left[ { - 4;1} \right]}\end{array}} \right.\).

Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút đoạn:

\(f\left( { - 4} \right) = - {\left( { - 4} \right)^3} - 6 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 4} \right) - 1 = 64 - 96 + 36 - 1 = 3\);

\(f\left( { - 3} \right) = - {\left( { - 3} \right)^3} - 6 \cdot {\left( { - 3} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 3} \right) - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = - 1\);

\(f\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^3} - 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3\);

\(f\left( 1 \right) = - {1^3} - 6 \cdot {1^2} - 9 \cdot 1 - 1 = - 1 - 6 - 9 - 1 = - 17\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4;1} \right]\) bằng \(3\) (đạt được tại \(x = - 4\) và \(x = - 1\)).

Chọn D.

Để tìm phương trình đường tiệm cận xiên dưới dạng \(y = ax + b\), ta tính các hệ số bằng giới hạn:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2} + 5x - 2}}{{x\left( { - 3x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2} + 5x - 2}}{{ - 3{x^2} + 4x}} = - \frac{4}{3}\).

Tiếp tục tính hệ số \(b\):

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{4{x^2} + 5x - 2}}{{ - 3x + 4}} + \frac{4}{3}x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3\left( {4{x^2} + 5x - 2} \right) + 4x\left( { - 3x + 4} \right)}}{{3\left( { - 3x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{12{x^2} + 15x - 6 - 12{x^2} + 16x}}{{ - 9x + 12}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{31x - 6}}{{ - 9x + 12}} = - \frac{{31}}{9}\).

Vậy phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = - \frac{4}{3}x - \frac{{31}}{9}.\)

Chọn C.

Theo quy tắc ba điểm với ba điểm bất kì \(W,U,V\), ta luôn có: \(\overrightarrow {WU} + \overrightarrow {UV} = \overrightarrow {WV} \).

Chọn D.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = - 6{x^2} + 24x - 18\).

Xét phương trình: \(y' = 0 \Leftrightarrow - 6\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = 3\). Các giá trị cực trị tương ứng là:

\(y\left( 1 \right) = - 2 \cdot {1^3} + 12 \cdot {1^2} - 18 \cdot 1 + 4 = - 2 + 12 - 18 + 4 = - 4\);

\(y\left( 3 \right) = - 2 \cdot {3^3} + 12 \cdot {3^2} - 18 \cdot 3 + 4 = - 54 + 108 - 54 + 4 = 4\).

Tổng các giá trị cực trị của hàm số thu được là: .

Chọn B.

Tọa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)\) của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức trung bình cộng tọa độ các đỉnh:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + \left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right)}}{3} = \frac{{ - 9}}{3} = - 3\);

\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + \left( { - 4} \right) + 13}}{3} = \frac{{12}}{3} = 4\);

\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{ - 3 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 8} \right)}}{3} = \frac{{ - 12}}{3} = - 4\).

Vậy tọa độ trọng tâm là \(G\left( { - 3;4; - 4} \right)\).

Chọn D.