Trong không gian \(Oxyz\), cho \(M\left( { - 4; - 5;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M'\) trên trục \(Ox\) sao cho \(MM'\) ngắn nhất.

Đáp án:

Vì \(AA'BD\) là tứ diện đều cạnh bằng \(3\) nên ta có:

+ Các cạnh \(AA' = AB = AD = A'B = A'D = BD = 3\).

+ Các tam giác \(ABD,ABA',AA'D\) là các tam giác đều nên

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = AB \cdot AD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2};\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DD'C'\) nên theo tính chất trọng tâm, ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc và tính chất hình hộp).

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = {\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{9}A{B^2} + A{D^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{4}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} \)

\( = \frac{1}{9} \cdot {3^2} + {3^2} + \frac{4}{9} \cdot {3^2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}\)\( = 1 + 9 + 4 + 3 + 2 + 6 = 25\).

Suy ra \(AG = \sqrt {25} = 5\).

Kết quả: 5.

Đáp án:

Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) nên cạnh \(CD\) song song với \(AB\).

Ta có vectơ đáy: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).

Đường thẳng \(CD\) đi qua \(C\left( {6;1; - 1} \right)\) và nhận \({\vec u_{CD}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đó điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(CD\) có tọa độ dạng tham số: \(D\left( {6 + t;1 - 2t; - 1 - 2t} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow {CD} = \left( {t; - 2t; - 2t} \right)\). Nhận thấy \(\overrightarrow {CD} = t \cdot \overrightarrow {AB} \). Độ dài đáy \(CD = \left| t \right| \cdot AB = 3\left| t \right|\).

Chiều cao \(h\) của hình thang chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(CD\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 1; - 1} \right)\).

Tính tích có hướng để tính khoảng cách: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;9; - 9} \right)\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(CD\) là: \(h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {9^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }}{3} = \frac{{9\sqrt 2 }}{3} = 3\sqrt 2 \).

Diện tích hình thang \(ABCD\):

\(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot h}}{2} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left( {3 + 3\left| t \right|} \right) \cdot 3\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {1 + \left| t \right|} \right) \cdot \frac{3}{2} = 6 \Leftrightarrow 1 + \left| t \right| = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left| t \right| = \frac{1}{3}\).

Vì hình thang \(ABCD\) có các đỉnh theo thứ tự vòng tròn nên vectơ \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \), tức là \(t < 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{3}\).

Thay \(t = - \frac{1}{3}\) vào tọa độ điểm \(D\):

\(a = 6 - \frac{1}{3} = \frac{{17}}{3}\)

\(b = 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)

\(c = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\)

Tính biểu thức \(P\): \(P = 3a + b - c = 3 \cdot \left( {\frac{{17}}{3}} \right) + \frac{5}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 17 + \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 19\).

Kết quả: 19.