Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB,CD\); tọa độ ba đỉnh \(A\left( {1;2;0} \right),\) \(B\left( {2;0; - 2} \right)\), \(C\left( {6;1; - 1} \right)\). Biết hình thang có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \). Giả sử đỉnh \(D\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(P = 3a + b - c\).

Đáp án:

Vì \(AA'BD\) là tứ diện đều cạnh bằng \(3\) nên ta có:

+ Các cạnh \(AA' = AB = AD = A'B = A'D = BD = 3\).

+ Các tam giác \(ABD,ABA',AA'D\) là các tam giác đều nên

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = AB \cdot AD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2};\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DD'C'\) nên theo tính chất trọng tâm, ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc và tính chất hình hộp).

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = {\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{9}A{B^2} + A{D^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{4}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} \)

\( = \frac{1}{9} \cdot {3^2} + {3^2} + \frac{4}{9} \cdot {3^2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}\)\( = 1 + 9 + 4 + 3 + 2 + 6 = 25\).

Suy ra \(AG = \sqrt {25} = 5\).

Kết quả: 5.

a) ĐÚNG. Số tiền thu được từ việc bán \(x\) mét vải với giá 220 nghìn đồng/mét là \(B\left( x \right) = 220x\) (nghìn đồng).

b). SAI. Biểu thức tính lợi nhuận là hiệu giữa doanh thu và chi phí:

\(L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

c) ĐÚNG. Xét hàm lợi nhuận \(L\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\) trên đoạn \(\left[ {1;18} \right]\).

Đạo hàm: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240\).

Xét \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{x^2} - 2x - 80} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10{\rm{\;(nhan)}}}\\{x = - 8{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\),

Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left[ {1;18} \right]\), ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại \(x = 10\). Vậy cần bán 10 mét vải mỗi ngày để thu lợi nhuận tối đa.

d) SAI. Thay \(x = 10\) vào biểu thức lợi nhuận ta có:

\(L\left( {10} \right) = - {10^3} + 3 \cdot {10^2} + 240 \cdot 10 - 500 = - 1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200\) (nghìn đồng).

Do đó lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng chứ không phải 1000 nghìn đồng.