Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA'BD\) là tứ diện đều cạnh \(3\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(DD'C'.\) Tính độ dài \(AG\).

Đáp án:

Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) nên cạnh \(CD\) song song với \(AB\).

Ta có vectơ đáy: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).

Đường thẳng \(CD\) đi qua \(C\left( {6;1; - 1} \right)\) và nhận \({\vec u_{CD}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đó điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(CD\) có tọa độ dạng tham số: \(D\left( {6 + t;1 - 2t; - 1 - 2t} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow {CD} = \left( {t; - 2t; - 2t} \right)\). Nhận thấy \(\overrightarrow {CD} = t \cdot \overrightarrow {AB} \). Độ dài đáy \(CD = \left| t \right| \cdot AB = 3\left| t \right|\).

Chiều cao \(h\) của hình thang chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(CD\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 1; - 1} \right)\).

Tính tích có hướng để tính khoảng cách: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;9; - 9} \right)\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(CD\) là: \(h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {9^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }}{3} = \frac{{9\sqrt 2 }}{3} = 3\sqrt 2 \).

Diện tích hình thang \(ABCD\):

\(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot h}}{2} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left( {3 + 3\left| t \right|} \right) \cdot 3\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {1 + \left| t \right|} \right) \cdot \frac{3}{2} = 6 \Leftrightarrow 1 + \left| t \right| = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left| t \right| = \frac{1}{3}\).

Vì hình thang \(ABCD\) có các đỉnh theo thứ tự vòng tròn nên vectơ \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \), tức là \(t < 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{3}\).

Thay \(t = - \frac{1}{3}\) vào tọa độ điểm \(D\):

\(a = 6 - \frac{1}{3} = \frac{{17}}{3}\)

\(b = 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)

\(c = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\)

Tính biểu thức \(P\): \(P = 3a + b - c = 3 \cdot \left( {\frac{{17}}{3}} \right) + \frac{5}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 17 + \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 19\).

Kết quả: 19.

a) ĐÚNG. Số tiền thu được từ việc bán \(x\) mét vải với giá 220 nghìn đồng/mét là \(B\left( x \right) = 220x\) (nghìn đồng).

b). SAI. Biểu thức tính lợi nhuận là hiệu giữa doanh thu và chi phí:

\(L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

c) ĐÚNG. Xét hàm lợi nhuận \(L\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\) trên đoạn \(\left[ {1;18} \right]\).

Đạo hàm: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240\).

Xét \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{x^2} - 2x - 80} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10{\rm{\;(nhan)}}}\\{x = - 8{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\),

Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left[ {1;18} \right]\), ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại \(x = 10\). Vậy cần bán 10 mét vải mỗi ngày để thu lợi nhuận tối đa.

d) SAI. Thay \(x = 10\) vào biểu thức lợi nhuận ta có:

\(L\left( {10} \right) = - {10^3} + 3 \cdot {10^2} + 240 \cdot 10 - 500 = - 1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200\) (nghìn đồng).

Do đó lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng chứ không phải 1000 nghìn đồng.