Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thượng Hiền (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) ở hình vẽ:

Điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là điểm có tọa độ \(\left( {0;2} \right)\).

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 2\).

Chọn C.

Quan sát đồ thị ta thấy:

Đồ thị có nhánh cuối cùng đi xuống khi \(x \to + \infty \), suy ra hệ số của \({x^3}\) phải âm (\(a < 0\)). Loại đáp án B.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, từ các phương án ta thấy các hàm số đều giao trục tung tại \(\left( {0; - 1} \right)\).

Đồ thị có hai điểm cực trị là điểm cực tiểu \(\left( { - 1;3} \right)\) và điểm cực đại \(\left( {1;1} \right)\).

Ta kiểm tra tọa độ điểm cực đại \(\left( {1;1} \right)\) vào các hàm số còn lại:

Với đáp án A: \(y\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot 1 - 1 = 1\) (Thỏa mãn).

Kiểm tra thêm điểm cực tiểu \(y\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^3} + 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 1 = 1 - 3 - 1 = - 3\) (Thỏa mãn).

Với đáp án C: \(y\left( 1 \right) = - \frac{1}{3} + 1 - 1 = - \frac{1}{3} \ne 1\).

Với đáp án D: \(y\left( 1 \right) = - 2 + 6 - 1 = 3 \ne 1\).

Chọn A.

Khoảng tứ phân vị \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1}\) đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng nhỏ thì số liệu càng đồng đều (tập trung gần trung vị).

Lớp 12B1: Tổng số học sinh \(n = 7 + 3 + 15 + 12 + 4 = 41\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) thuộc nhóm \(\left[ {7;8} \right)\). Ta có \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{41}}{4} - 10}}{{15}} \times 1 = \frac{{421}}{{60}}\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) thuộc nhóm \(\left[ {8;9} \right)\). Ta có \({Q_1} = 8 + \frac{{3 \cdot \frac{{41}}{4} - 25}}{{12}} \times 1 = \frac{{407}}{{48}}\).

Do đó \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{407}}{{48}} - \frac{{421}}{{60}} = \frac{{117}}{{80}} = 1,4625\).

Lớp 12B2: Tổng số học sinh \(n = 5 + 9 + 12 + 11 + 3 = 40\).

Vị trí tìm \({Q_1}\) là \(10\), thuộc nhóm \(\left[ {6;7} \right)\). Công thức ghép nhóm: \({Q_1} = 6 + \frac{{10 - 5}}{9} \times 1 = \frac{{59}}{9}\).

Vị trí tìm \({Q_3}\) là \(30\), thuộc nhóm \(\left[ {8;9} \right)\). Công thức ghép nhóm: \({Q_3} = 8 + \frac{{30 - 26}}{{11}} \times 1 = \frac{{92}}{{11}}\).

\({{\rm{\Delta }}_Q} = \frac{{92}}{{11}} - \frac{{59}}{9} \approx 1,81\).

Lớp 12B3: Tổng số học sinh \(n = 10 + 10 + 9 + 6 + 1 = 36\).

Vị trí tìm \({Q_1}\) là \(9\), thuộc nhóm \(\left[ {5;6} \right)\). Ta có \({Q_1} = 5 + \frac{{9 - 0}}{{10}} \times 1 = 5,9\).

Vị trí tìm \({Q_3}\) là \(27\), thuộc nhóm \(\left[ {7;8} \right)\). Ta có \({Q_3} = 7 + \frac{{27 - 20}}{9} \times 1 = \frac{{70}}{9}\).

\({{\rm{\Delta }}_Q} = \frac{{70}}{9} - 5,9 = \frac{{169}}{{90}} \approx 1,88\).

Lớp 12B4: Tổng số học sinh \(n = 14 + 3 + 15 + 9 + 1 = 42\).

Vị trí tìm \({Q_1}\) là \(10,5\), thuộc nhóm \(\left[ {5;6} \right)\). Ta có \({Q_1} = 5 + \frac{{10,5 - 0}}{{14}} \times 1 = 5,75\).

Vị trí tìm \({Q_3}\) là \(31,5\), thuộc nhóm \(\left[ {7;8} \right)\). Ta có \({Q_3} = 7 + \frac{{14,5}}{{15}} \times 1 \approx 7,97\).

\({{\rm{\Delta }}_Q} \approx 7,97 - 5,75 \approx 2,22\).

So sánh khoảng tứ phân vị của 4 lớp, ta thấy lớp 12B1 có khoảng tứ phân vị bé nhất, vì vậy số điểm của lớp 12B1 đồng đều nhất.

Chọn B.

Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ trong không gian: \(\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|}}\).

Ta có:

Tích vô hướng: \(\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2 - 3 + 2 = 1\).

Độ dài vectơ \(\vec u\): \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {1 + 9 + 4} = \sqrt {14} \).

Độ dài vectơ \(\vec v\): \(\left| {\vec v} \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt {4 + 1 + 1} = \sqrt 6 \).

Suy ra: \(\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{1}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt {84} }} = \frac{1}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{42}}\).

Chọn D.

Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 4 + 9} = \sqrt {14} \).

Chọn C.

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có:

Đường tiệm cận đứng là \(x = - \frac{d}{c} = - \frac{3}{4}\).

Đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số chính là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do đó, tọa độ tâm đối xứng là \(I\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right)\).

Chọn D.

Ta có \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{2}{{x - 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0\), nên đường thẳng \(y = 2x - 1\) chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn B.

Ta có đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 12x\).

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \(y' = 0\): \(3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = 0}\\{{x_2} = 4}\end{array}} \right.\).

Hàm số bậc ba có hai điểm cực trị phân biệt là \({x_1} = 0\) và \({x_2} = 4\).

Giá trị tổng hai điểm cực trị thu được là: \({x_1} + {x_2} = 0 + 4 = 4\).

(Hoặc có thể áp dụng ngay định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai \(y' = 0\): \({x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 12}}{3} = 4\)).

Chọn B.