Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa (\(1 \le x \le 18\)). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa được tính bằng nghìn đồng và cho bởi hàm chi phí \(C\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500.\)

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá \(220\) nghìn đồng/mét. Gọi \(L\left( x \right)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa. Lợi nhuận tối đa mà hộ làm nghề dệt vải lụa thu được mỗi ngày là bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp án:

Thời gian máy bay bay từ M đến N là \(20\) phút, từ N đến Q là \(10\) phút. Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, ta có tỉ lệ: \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {NQ} = \left( {1500 - {x_N};860 - {y_N};16 - {z_N}} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} - 1100 = 2\left( {1500 - {x_N}} \right)}\\{{y_N} - 650 = 2\left( {860 - {y_N}} \right)}\\{{z_N} - 14 = 2\left( {16 - {z_N}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_N} = 4100}\\{3{y_N} = 2370}\\{3{z_N} = 46}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = \frac{{4100}}{3}}\\{{y_N} = 790}\\{{z_N} = \frac{{46}}{3}}\end{array}} \right.\).

Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{800}}{3};140;\frac{4}{3}} \right)\).

Khoảng cách từ khẩu pháo E đến vị trí mục tiêu N:

\(\overrightarrow {EN} = \left( {{x_N} - {x_E};{y_N} - {y_E};{z_N} - {z_E}} \right) = \left( {\frac{{4100}}{3} - \frac{{1700}}{3};790 - 370;\frac{{46}}{3} - \frac{{34}}{3}} \right) = \left( {800;420;4} \right)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow {EN} = 3 \cdot \overrightarrow {MN} \). Do đó khoảng cách \(EN = 3 \cdot MN\).

Vì vận tốc pháo gấp 5 lần vận tốc máy bay (\({v_{{\rm{ph\'a o}}}} = 5{v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}\)), thời gian để đạn pháo bay từ E đến N là:

\({t_{{\rm{ph\'a o}}}} = \frac{{EN}}{{{v_{{\rm{ph\'a o}}}}}} = \frac{{3 \cdot MN}}{{5 \cdot {v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}}} = \frac{3}{5} \cdot {t_{{\rm{m\'a y\;bay\;(M}} \to {\rm{N)}}}} = \frac{3}{5} \times 20 = 12{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Để đạn trúng máy bay tại N sau khi máy bay xuất phát từ M được 20 phút, pháo phải được bắn tại thời điểm: \(t = 20 - 12 = 8{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Kết quả: 8.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta xác định các đường tiệm cận:

Đường tiệm cận đứng là \(x = 1\). Mẫu số \(cx + 1 = 0\) khi \(x = 1 \Rightarrow c \cdot 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow c = - 1\).

Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ý d) Đúng.

Đường tiệm cận ngang là \(y = 2 \Rightarrow \frac{a}{c} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 1}} = 2 \Leftrightarrow a = - 2\).

Giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left( {1;2} \right)\), đây chính là tâm đối xứng của đồ thị. Do đó ý b) phát biểu là \(\left( {2;1} \right)\) là Sai.

Hàm số có dạng đầy đủ: \(y = \frac{{ - 2x + b}}{{ - x + 1}}\).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0; - 1} \right)\). Thay vào hàm số: \( - 1 = \frac{{ - 2 \cdot 0 + b}}{{ - 0 + 1}} \Leftrightarrow b = - 1\).

Vậy ý c) là Đúng.

Hàm số hoàn chỉnh là: \(y = \frac{{ - 2x - 1}}{{ - x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Kiểm tra ý a) với điểm \(B\left( {9;2} \right)\): Thay \(x = 9 \Rightarrow y = \frac{{2 \cdot 9 + 1}}{{9 - 1}} = \frac{{19}}{8} \ne 2\). Do đó ý a) là Sai.

a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.