PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3 điểm)

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo là kilômét, một rada phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(M\left( {1100;650;14} \right)\) đến điểm N trong 20 phút. Nếu đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là \(Q\left( {1500;860;16} \right)\). Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm \(E\left( {\frac{{1700}}{3};370;\frac{{34}}{3}} \right)\) được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí N. Sau bao nhiêu phút khi máy bay bay từ M thì người điều khiển pháo phải bắn?

Đáp án:

Hàm doanh thu khi bán \(x\) mét vải lụa với giá 220 nghìn đồng/mét là: \(R\left( x \right) = 220x\).

Hàm lợi nhuận thu được là hiệu giữa doanh thu và chi phí sản xuất:

\(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

Xét hàm \(L\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;18} \right]\). Ta tính đạo hàm: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240\).

Giải phương trình \(L'\left( x \right) = 0\): \( - 3\left( {{x^2} - 2x - 80} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10\quad \left( { \in \left[ {1;18} \right]} \right)}\\{x = - 8\quad \left( {{\rm{loai}}} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta tính giá trị của hàm lợi nhuận tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

\(L\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot {1^2} + 240 \cdot 1 - 500 = - 258\);

\(L\left( {10} \right) = - {10^3} + 3 \cdot {10^2} + 240 \cdot 10 - 500 = - 1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200\);

\(L\left( {18} \right) = - {18^3} + 3 \cdot {18^2} + 240 \cdot 18 - 500 = - 5832 + 972 + 4320 - 500 = - 1040\).

Vậy lợi nhuận tối đa mà hộ dệt thu được mỗi ngày là \(1200\) nghìn đồng (khi sản xuất và bán ra 10 mét vải).

Kết quả: 1200.

Đáp án:

Gọi hợp lực của ba lực là vectơ \(\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}\).

Vì ba lực có phương đôi một vuông góc nhau nên các tích vô hướng của chúng bằng 0:

\({\vec F_1} \cdot {\vec F_2} = {\vec F_2} \cdot {\vec F_3} = {\vec F_3} \cdot {\vec F_1} = 0\).

Bình phương vô hướng độ lớn của hợp lực thu được là:

\({\left| {\vec F} \right|^2} = {\left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2} + {{\vec F}_3}} \right)^2} = {\left| {{{\vec F}_1}} \right|^2} + {\left| {{{\vec F}_2}} \right|^2} + {\left| {{{\vec F}_3}} \right|^2} + 2\left( {{{\vec F}_1}{{\vec F}_2} + {{\vec F}_2}{{\vec F}_3} + {{\vec F}_3}{{\vec F}_1}} \right)\)\( = {3^2} + {6^2} + {2^2} + 0 = 9 + 36 + 4 = 49\).

Suy ra độ lớn của hợp lực là: \(\left| {\vec F} \right| = \sqrt {49} = 7{\rm{\;(N)}}\).

Kết quả: 7.