Thống kê điểm kiểm tra môn Toán giữa kì I của bốn lớp 12 của một trường THPT cho bởi bảng sau:

Nhà trường muốn đánh giá mức độ “học đều” môn Toán của các lớp. Nếu xét theo khoảng tứ phân vị thì điểm kiểm tra môn Toán giữa kì I của lớp nào đồng đều nhất?

Đáp án:

Thời gian máy bay bay từ M đến N là \(20\) phút, từ N đến Q là \(10\) phút. Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, ta có tỉ lệ: \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {NQ} = \left( {1500 - {x_N};860 - {y_N};16 - {z_N}} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} - 1100 = 2\left( {1500 - {x_N}} \right)}\\{{y_N} - 650 = 2\left( {860 - {y_N}} \right)}\\{{z_N} - 14 = 2\left( {16 - {z_N}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_N} = 4100}\\{3{y_N} = 2370}\\{3{z_N} = 46}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = \frac{{4100}}{3}}\\{{y_N} = 790}\\{{z_N} = \frac{{46}}{3}}\end{array}} \right.\).

Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{800}}{3};140;\frac{4}{3}} \right)\).

Khoảng cách từ khẩu pháo E đến vị trí mục tiêu N:

\(\overrightarrow {EN} = \left( {{x_N} - {x_E};{y_N} - {y_E};{z_N} - {z_E}} \right) = \left( {\frac{{4100}}{3} - \frac{{1700}}{3};790 - 370;\frac{{46}}{3} - \frac{{34}}{3}} \right) = \left( {800;420;4} \right)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow {EN} = 3 \cdot \overrightarrow {MN} \). Do đó khoảng cách \(EN = 3 \cdot MN\).

Vì vận tốc pháo gấp 5 lần vận tốc máy bay (\({v_{{\rm{ph\'a o}}}} = 5{v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}\)), thời gian để đạn pháo bay từ E đến N là:

\({t_{{\rm{ph\'a o}}}} = \frac{{EN}}{{{v_{{\rm{ph\'a o}}}}}} = \frac{{3 \cdot MN}}{{5 \cdot {v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}}} = \frac{3}{5} \cdot {t_{{\rm{m\'a y\;bay\;(M}} \to {\rm{N)}}}} = \frac{3}{5} \times 20 = 12{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Để đạn trúng máy bay tại N sau khi máy bay xuất phát từ M được 20 phút, pháo phải được bắn tại thời điểm: \(t = 20 - 12 = 8{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Kết quả: 8.

Đáp án:

Hàm doanh thu khi bán \(x\) mét vải lụa với giá 220 nghìn đồng/mét là: \(R\left( x \right) = 220x\).

Hàm lợi nhuận thu được là hiệu giữa doanh thu và chi phí sản xuất:

\(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

Xét hàm \(L\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;18} \right]\). Ta tính đạo hàm: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240\).

Giải phương trình \(L'\left( x \right) = 0\): \( - 3\left( {{x^2} - 2x - 80} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10\quad \left( { \in \left[ {1;18} \right]} \right)}\\{x = - 8\quad \left( {{\rm{loai}}} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta tính giá trị của hàm lợi nhuận tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

\(L\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot {1^2} + 240 \cdot 1 - 500 = - 258\);

\(L\left( {10} \right) = - {10^3} + 3 \cdot {10^2} + 240 \cdot 10 - 500 = - 1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200\);

\(L\left( {18} \right) = - {18^3} + 3 \cdot {18^2} + 240 \cdot 18 - 500 = - 5832 + 972 + 4320 - 500 = - 1040\).

Vậy lợi nhuận tối đa mà hộ dệt thu được mỗi ngày là \(1200\) nghìn đồng (khi sản xuất và bán ra 10 mét vải).

Kết quả: 1200.