Thống kê điểm kiểm tra môn Toán giữa kì I của bốn lớp 12 của một trường THPT cho bởi bảng sau:

Nhà trường muốn đánh giá mức độ “học đều” môn Toán của các lớp. Nếu xét theo khoảng tứ phân vị thì điểm kiểm tra môn Toán giữa kì I của lớp nào đồng đều nhất?

Đáp án:

Thời gian máy bay bay từ M đến N là \(20\) phút, từ N đến Q là \(10\) phút. Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, ta có tỉ lệ: \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {NQ} = \left( {1500 - {x_N};860 - {y_N};16 - {z_N}} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} - 1100 = 2\left( {1500 - {x_N}} \right)}\\{{y_N} - 650 = 2\left( {860 - {y_N}} \right)}\\{{z_N} - 14 = 2\left( {16 - {z_N}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_N} = 4100}\\{3{y_N} = 2370}\\{3{z_N} = 46}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = \frac{{4100}}{3}}\\{{y_N} = 790}\\{{z_N} = \frac{{46}}{3}}\end{array}} \right.\).

Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{800}}{3};140;\frac{4}{3}} \right)\).

Khoảng cách từ khẩu pháo E đến vị trí mục tiêu N:

\(\overrightarrow {EN} = \left( {{x_N} - {x_E};{y_N} - {y_E};{z_N} - {z_E}} \right) = \left( {\frac{{4100}}{3} - \frac{{1700}}{3};790 - 370;\frac{{46}}{3} - \frac{{34}}{3}} \right) = \left( {800;420;4} \right)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow {EN} = 3 \cdot \overrightarrow {MN} \). Do đó khoảng cách \(EN = 3 \cdot MN\).

Vì vận tốc pháo gấp 5 lần vận tốc máy bay (\({v_{{\rm{ph\'a o}}}} = 5{v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}\)), thời gian để đạn pháo bay từ E đến N là:

\({t_{{\rm{ph\'a o}}}} = \frac{{EN}}{{{v_{{\rm{ph\'a o}}}}}} = \frac{{3 \cdot MN}}{{5 \cdot {v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}}} = \frac{3}{5} \cdot {t_{{\rm{m\'a y\;bay\;(M}} \to {\rm{N)}}}} = \frac{3}{5} \times 20 = 12{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Để đạn trúng máy bay tại N sau khi máy bay xuất phát từ M được 20 phút, pháo phải được bắn tại thời điểm: \(t = 20 - 12 = 8{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Kết quả: 8.

Đáp án:

Gọi hợp lực của ba lực là vectơ \(\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}\).

Vì ba lực có phương đôi một vuông góc nhau nên các tích vô hướng của chúng bằng 0:

\({\vec F_1} \cdot {\vec F_2} = {\vec F_2} \cdot {\vec F_3} = {\vec F_3} \cdot {\vec F_1} = 0\).

Bình phương vô hướng độ lớn của hợp lực thu được là:

\({\left| {\vec F} \right|^2} = {\left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2} + {{\vec F}_3}} \right)^2} = {\left| {{{\vec F}_1}} \right|^2} + {\left| {{{\vec F}_2}} \right|^2} + {\left| {{{\vec F}_3}} \right|^2} + 2\left( {{{\vec F}_1}{{\vec F}_2} + {{\vec F}_2}{{\vec F}_3} + {{\vec F}_3}{{\vec F}_1}} \right)\)\( = {3^2} + {6^2} + {2^2} + 0 = 9 + 36 + 4 = 49\).

Suy ra độ lớn của hợp lực là: \(\left| {\vec F} \right| = \sqrt {49} = 7{\rm{\;(N)}}\).

Kết quả: 7.