Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thoả mãn hệ thức \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

Đáp án:

Thời gian máy bay bay từ M đến N là \(20\) phút, từ N đến Q là \(10\) phút. Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, ta có tỉ lệ: \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {NQ} = \left( {1500 - {x_N};860 - {y_N};16 - {z_N}} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} - 1100 = 2\left( {1500 - {x_N}} \right)}\\{{y_N} - 650 = 2\left( {860 - {y_N}} \right)}\\{{z_N} - 14 = 2\left( {16 - {z_N}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_N} = 4100}\\{3{y_N} = 2370}\\{3{z_N} = 46}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = \frac{{4100}}{3}}\\{{y_N} = 790}\\{{z_N} = \frac{{46}}{3}}\end{array}} \right.\).

Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{800}}{3};140;\frac{4}{3}} \right)\).

Khoảng cách từ khẩu pháo E đến vị trí mục tiêu N:

\(\overrightarrow {EN} = \left( {{x_N} - {x_E};{y_N} - {y_E};{z_N} - {z_E}} \right) = \left( {\frac{{4100}}{3} - \frac{{1700}}{3};790 - 370;\frac{{46}}{3} - \frac{{34}}{3}} \right) = \left( {800;420;4} \right)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow {EN} = 3 \cdot \overrightarrow {MN} \). Do đó khoảng cách \(EN = 3 \cdot MN\).

Vì vận tốc pháo gấp 5 lần vận tốc máy bay (\({v_{{\rm{ph\'a o}}}} = 5{v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}\)), thời gian để đạn pháo bay từ E đến N là:

\({t_{{\rm{ph\'a o}}}} = \frac{{EN}}{{{v_{{\rm{ph\'a o}}}}}} = \frac{{3 \cdot MN}}{{5 \cdot {v_{{\rm{m\'a y\;bay}}}}}} = \frac{3}{5} \cdot {t_{{\rm{m\'a y\;bay\;(M}} \to {\rm{N)}}}} = \frac{3}{5} \times 20 = 12{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Để đạn trúng máy bay tại N sau khi máy bay xuất phát từ M được 20 phút, pháo phải được bắn tại thời điểm: \(t = 20 - 12 = 8{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Kết quả: 8.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta xác định các đường tiệm cận:

Đường tiệm cận đứng là \(x = 1\). Mẫu số \(cx + 1 = 0\) khi \(x = 1 \Rightarrow c \cdot 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow c = - 1\).

Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ý d) Đúng.

Đường tiệm cận ngang là \(y = 2 \Rightarrow \frac{a}{c} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 1}} = 2 \Leftrightarrow a = - 2\).

Giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left( {1;2} \right)\), đây chính là tâm đối xứng của đồ thị. Do đó ý b) phát biểu là \(\left( {2;1} \right)\) là Sai.

Hàm số có dạng đầy đủ: \(y = \frac{{ - 2x + b}}{{ - x + 1}}\).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0; - 1} \right)\). Thay vào hàm số: \( - 1 = \frac{{ - 2 \cdot 0 + b}}{{ - 0 + 1}} \Leftrightarrow b = - 1\).

Vậy ý c) là Đúng.

Hàm số hoàn chỉnh là: \(y = \frac{{ - 2x - 1}}{{ - x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Kiểm tra ý a) với điểm \(B\left( {9;2} \right)\): Thay \(x = 9 \Rightarrow y = \frac{{2 \cdot 9 + 1}}{{9 - 1}} = \frac{{19}}{8} \ne 2\). Do đó ý a) là Sai.

a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.