Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

Xác định giá trị đại diện \({x_i}\) cho từng nhóm số liệu:

• Nhóm 1: \(\left[ {2,7;3,0} \right)\) có giá trị đại diện là \({x_1} = \frac{{2,7 + 3,0}}{2} = 2,85\).
• Nhóm 2: \(\left[ {3,0;3,3} \right)\) có giá trị đại diện là \({x_2} = \frac{{3,0 + 3,3}}{2} = 3,15\).
• Nhóm 3: \(\left[ {3,3;3,6} \right)\) có giá trị đại diện là \({x_3} = \frac{{3,3 + 3,6}}{2} = 3,45\).
• Nhóm 4: \(\left[ {3,6;3,9} \right)\) có giá trị đại diện là \({x_4} = \frac{{3,6 + 3,9}}{2} = 3,75\).
• Nhóm 5: \(\left[ {3,9;4,2} \right)\) có giá trị đại diện là \({x_5} = \frac{{3,9 + 4,2}}{2} = 4,05\).

Tính số trung bình cộng \(\bar x\) của mẫu số liệu:

\(\bar x = \frac{{2 \cdot 2,85 + 7 \cdot 3,15 + 5 \cdot 3,45 + 4 \cdot 3,75 + 2 \cdot 4,05}}{{20}} = \frac{{5,7 + 22,05 + 17,25 + 15 + 8,1}}{{20}} = \frac{{68,1}}{{20}} = 3,405\).

Tính phương sai \({s^2}\):

\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {2 \cdot {{\left( {2,85} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {3,15} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {3,45} \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {3,75} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {4,05} \right)}^2}} \right] - {\left( {3,405} \right)^2} = 0,119475 \approx 0,12\).

Chọn đáp án A.

Ta có \(\vec u = \vec i + 2\vec k = \left( {1;0;2} \right)\) và vectơ đơn vị \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\).

Do đó, tọa độ của vectơ tổng là: \(\vec u + \vec j = \left( {1 + 0;0 + 1;2 + 0} \right) = \left( {1;1;2} \right)\).

Hoặc ta có thể thực hiện \(\vec u + \vec j = \overrightarrow i + \overrightarrow j + 2\overrightarrow k \). Suy ra tọa độ của \(\vec u + \vec j\) là \(\left( {1;1;2} \right)\).

Chọn đáp án B.

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ - 5x + 3}}{{x - 1}}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3 - 5x}}{{x - 1}} = - 5\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = - 5\).

Chọn đáp án B.

Xét hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 3\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = - 4{x^3} + 4x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]}\\{x = 1 \in \left[ { - 1;1} \right]}\\{x = - 1 \in \left[ { - 1;1} \right]}\end{array}} \right.\).

Tính các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút:

\(y\left( 0 \right) = 3\); \(y\left( 1 \right) = - {1^4} + 2 \cdot {1^2} + 3 = 4\); \(y\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^4} + 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 3 = 4\).

So sánh các giá trị, ta được \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 3\) tại \(x = 0\).

Chọn đáp án A.

Gọi tọa độ của điểm \(K\) là \(\left( {{x_K};{y_K};{z_K}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {KA} = \left( {3 - {x_K};2 - {y_K}; - 4 - {z_K}} \right)\), \(\overrightarrow {KB} = \left( {1 - {x_K}; - 4 - {y_K};5 - {z_K}} \right)\).

Từ đẳng thức vectơ \(\overrightarrow {KA} = 2\overrightarrow {KB} \), ta suy ra hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - {x_K} = 2\left( {1 - {x_K}} \right)}\\{2 - {y_K} = 2\left( { - 4 - {y_K}} \right)}\\{ - 4 - {z_K} = 2\left( {5 - {z_K}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - {x_K} = 2 - 2{x_K}}\\{2 - {y_K} = - 8 - 2{y_K}}\\{ - 4 - {z_K} = 10 - 2{z_K}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_K} = - 1}\\{{y_K} = - 10}\\{{z_K} = 14}\end{array}} \right.\).

Vậy \(K\left( { - 1; - 10;14} \right)\).

Chọn đáp án D.

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 3;5} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {38} \).

Với phương án A: Đặt \(\vec v = \vec i - \vec j = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \).

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\vec v} \right) = \frac{{\overrightarrow {OA} \cdot \vec v}}{{\left| {\overrightarrow {OA} \left| \cdot \right|\vec v} \right|}} = \frac{{2 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 5 \cdot 0}}{{\sqrt {38} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{5}{{\sqrt {76} }}\).

Do đó khẳng định A sai.

Chọn đáp án A.

Quan sát đồ thị hàm số trên các khoảng xác định:

Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

Chọn đáp án B.

Theo quy tắc hình hộp cho ba vectơ chung gốc từ một đỉnh của hình hộp chữ nhật hay hình hộp nói chung:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

Chọn đáp án C.