Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị đô trên các trục tọa độ là mét), mặt đất được coi là trùng với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]. Một khinh khí cầu xuất phát từ \(O\left( {0;0;0} \right)\) chuyển động thẳng đến điểm \(A\left( { - 38;5;4} \right)\), sau đó khinh khí cầu tiếp tục chuyển động thẳng đến điểm \(B\left( {638; - 101;426} \right)\) với tốc độ \(4{\rm{\;m/s}}\).

Đáp án:

Doanh thu từ việc bán \(x\) lít sữa là: \(R\left( x \right) = 0,06x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất \(x\) lít sữa mỗi ngày:

• Nếu \(0 \le x \le 200\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2}\).
• Nếu \(200 < x \le 300\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2} + 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\).

Trường hợp 1: Khi \(0 \le x \le 200\).

Ta có \({P_1}\left( x \right) = 0,06x - \left( {1 + 0,035x + 0,00001{x^2}} \right) = - 0,00001{x^2} + 0,025x - 1\)

Đạo hàm: \({P_1}^\prime \left( x \right) = - 0,00002x + 0,025\).

Cho \({P_1}^\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{0,025}}{{0,00002}} = 1250\) (Không thuộc khoảng \(\left[ {0;200} \right]\)).

Vì \({P_1}^\prime \left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;200} \right]\) nên hàm số đồng biến trên đoạn này.

Lợi nhuận lớn nhất trong giai đoạn này đạt được tại \(x = 200\):

\({P_1}\left( {200} \right) = - 0,00001 \cdot {200^2} + 0,025 \cdot 200 - 1 = - 0,4 + 5 - 1 = 3,6\) (triệu đồng).

Trường hợp 2: Khi \(200 < x \le 300\).

Ta có \({P_2}\left( x \right) = 0,06x - 1 - 0,035x - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\)

\( = 0,025x - 1 - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Đạo hàm: \({P'_2}\left( x \right) = 0,025 - 0,00002x - 0,00009{\left( {x - 200} \right)^2} = - 0,00009{x^2} + 0,03598x - 3,575\).

Cho \({P'_2}\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 215,16 \in \left[ {200;300} \right)\).

Lập bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x \approx 215,16\).

Ta có \({P_2}\left( {215,16} \right) \approx 3,81\) là giá trị cực đại của hàm số, hay chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( {200;300} \right]\).

Xét cả hai trường hợp, ta thu được lợi nhuận lớn nhất xấp xỉ \(3,81\) triệu đồng.

Đáp số: 3,81.

Đáp án:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AS} \).

Vì đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh 10 nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(\widehat {BAC} = 45^\circ \), \(AC = 10\sqrt 2 \).

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = 10 \cdot 10\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 100\).

Tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh 10 nên \(\widehat {SAB} = 60^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AS} = AB \cdot AS \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 50\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {SC} = 100 - 50 = 50\).

Đáp số: 50.