Một ngôi nhà gỗ nhỏ gồm hai phần. Phần thân nhà có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.OMNK\) có chiều dài \(OK\) bằng \(6{\rm{\;m}}\), chiều rộng \(OM\) bằng \(4{\rm{\;m}}\), chiều cao \(3{\rm{\;m}}\). Phần mái nhà có dạng hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bên bằng nhau và có chiều cao bằng \(2,5{\rm{\;m}}\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(M\) thuộc tia \(Ox\), \(K\) thuộc tia \(Oy\), \(A\) thuộc tia \(Oz\) (như hình vẽ) (mỗi đơn vị độ dài trên hệ trục ứng với \(1{\rm{\;m}}\)). Tìm \(\cos \widehat {MSK}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án:

Doanh thu từ việc bán \(x\) lít sữa là: \(R\left( x \right) = 0,06x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất \(x\) lít sữa mỗi ngày:

• Nếu \(0 \le x \le 200\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2}\).
• Nếu \(200 < x \le 300\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2} + 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\).

Trường hợp 1: Khi \(0 \le x \le 200\).

Ta có \({P_1}\left( x \right) = 0,06x - \left( {1 + 0,035x + 0,00001{x^2}} \right) = - 0,00001{x^2} + 0,025x - 1\)

Đạo hàm: \({P_1}^\prime \left( x \right) = - 0,00002x + 0,025\).

Cho \({P_1}^\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{0,025}}{{0,00002}} = 1250\) (Không thuộc khoảng \(\left[ {0;200} \right]\)).

Vì \({P_1}^\prime \left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;200} \right]\) nên hàm số đồng biến trên đoạn này.

Lợi nhuận lớn nhất trong giai đoạn này đạt được tại \(x = 200\):

\({P_1}\left( {200} \right) = - 0,00001 \cdot {200^2} + 0,025 \cdot 200 - 1 = - 0,4 + 5 - 1 = 3,6\) (triệu đồng).

Trường hợp 2: Khi \(200 < x \le 300\).

Ta có \({P_2}\left( x \right) = 0,06x - 1 - 0,035x - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\)

\( = 0,025x - 1 - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Đạo hàm: \({P'_2}\left( x \right) = 0,025 - 0,00002x - 0,00009{\left( {x - 200} \right)^2} = - 0,00009{x^2} + 0,03598x - 3,575\).

Cho \({P'_2}\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 215,16 \in \left[ {200;300} \right)\).

Lập bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x \approx 215,16\).

Ta có \({P_2}\left( {215,16} \right) \approx 3,81\) là giá trị cực đại của hàm số, hay chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( {200;300} \right]\).

Xét cả hai trường hợp, ta thu được lợi nhuận lớn nhất xấp xỉ \(3,81\) triệu đồng.

Đáp số: 3,81.

Đáp án:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AS} \).

Vì đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh 10 nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(\widehat {BAC} = 45^\circ \), \(AC = 10\sqrt 2 \).

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = 10 \cdot 10\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 100\).

Tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh 10 nên \(\widehat {SAB} = 60^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AS} = AB \cdot AS \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 50\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {SC} = 100 - 50 = 50\).

Đáp số: 50.