Một ngôi nhà gỗ nhỏ gồm hai phần. Phần thân nhà có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.OMNK\) có chiều dài \(OK\) bằng \(6{\rm{\;m}}\), chiều rộng \(OM\) bằng \(4{\rm{\;m}}\), chiều cao \(3{\rm{\;m}}\). Phần mái nhà có dạng hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bên bằng nhau và có chiều cao bằng \(2,5{\rm{\;m}}\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(M\) thuộc tia \(Ox\), \(K\) thuộc tia \(Oy\), \(A\) thuộc tia \(Oz\) (như hình vẽ) (mỗi đơn vị độ dài trên hệ trục ứng với \(1{\rm{\;m}}\)). Tìm \(\cos \widehat {MSK}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

a) ĐÚNG: Nhìn vào bảng biến thiên, khi \(x \to + \infty \) thì \(f\left( x \right) \to + \infty \) nên hệ số điểm đầu \(a > 0\).

b) SAI: Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Hoành độ tâm đối xứng là trung điểm hai hoành độ cực trị: \({x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\). Tung độ tâm đối xứng là trung điểm hai giá trị cực trị: \({y_I} = \frac{{2 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 0\). Vậy tung độ bằng 0.

c) SAI: Thử hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 2\):

\(y' = 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\) (khớp BBT).

Tại \(x = 1 \Rightarrow y = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \ne 2\) (không khớp với cực đại bằng 2 trong BBT).

Tìm hàm đúng: Hệ phương trình qua các điểm cực trị cho ta \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2\).

d) ĐÚNG: Đồ thị đúng có dạng đối xứng qua \(I\left( {2;0} \right)\). Các điểm cực trị là \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3; - 2} \right)\). Giao điểm với trục hoành là nghiệm của \({x^3} - 6{x^2} + 9x - 2 = 0\). Vì cấu trúc đối xứng nên tứ giác \(AMBN\) tạo thành hình bình hành tâm \(I\), tuy nhiên kiểm tra điều kiện nội tiếp đường tròn không thỏa mãn (không phải hình chữ nhật), suy ra chúng không cùng nằm trên một đường tròn.

Đáp án:

Doanh thu từ việc bán \(x\) lít sữa là: \(R\left( x \right) = 0,06x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất \(x\) lít sữa mỗi ngày:

• Nếu \(0 \le x \le 200\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2}\).
• Nếu \(200 < x \le 300\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2} + 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\).

Trường hợp 1: Khi \(0 \le x \le 200\).

Ta có \({P_1}\left( x \right) = 0,06x - \left( {1 + 0,035x + 0,00001{x^2}} \right) = - 0,00001{x^2} + 0,025x - 1\)

Đạo hàm: \({P_1}^\prime \left( x \right) = - 0,00002x + 0,025\).

Cho \({P_1}^\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{0,025}}{{0,00002}} = 1250\) (Không thuộc khoảng \(\left[ {0;200} \right]\)).

Vì \({P_1}^\prime \left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;200} \right]\) nên hàm số đồng biến trên đoạn này.

Lợi nhuận lớn nhất trong giai đoạn này đạt được tại \(x = 200\):

\({P_1}\left( {200} \right) = - 0,00001 \cdot {200^2} + 0,025 \cdot 200 - 1 = - 0,4 + 5 - 1 = 3,6\) (triệu đồng).

Trường hợp 2: Khi \(200 < x \le 300\).

Ta có \({P_2}\left( x \right) = 0,06x - 1 - 0,035x - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\)

\( = 0,025x - 1 - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Đạo hàm: \({P'_2}\left( x \right) = 0,025 - 0,00002x - 0,00009{\left( {x - 200} \right)^2} = - 0,00009{x^2} + 0,03598x - 3,575\).

Cho \({P'_2}\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 215,16 \in \left[ {200;300} \right)\).

Lập bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x \approx 215,16\).

Ta có \({P_2}\left( {215,16} \right) \approx 3,81\) là giá trị cực đại của hàm số, hay chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( {200;300} \right]\).

Xét cả hai trường hợp, ta thu được lợi nhuận lớn nhất xấp xỉ \(3,81\) triệu đồng.

Đáp số: 3,81.