Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án

Chọn B

Ta có: \({F_1}^\prime \left( x \right) = 3 + \frac{2}{{{x^3}}}\); \({F'_2}\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x}\); \({F'_3}\left( x \right) = 3 - \frac{2}{{{x^3}}}\); \({F_4}^\prime \left( x \right) = 3 - \frac{1}{x}\).

Suy ra: \({F_2}^\prime \left( x \right) = 3 + \frac{1}{x} = f\left( x \right)\).

Vậy \({F_2}\left( x \right) = 3x + \ln x\) là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\].

Chọn C

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {3{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x}  = 3.\frac{{{x^3}}}{3} + x + C = {x^3} + x + C} \).

Chọn B

Ta có \[\int {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \int {\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right){\rm{d}}x}  = 4\int {{x^2}} {\rm{d}}x - 12\int {x{\rm{d}}x}  + 9\int {{\rm{d}}x}  = \frac{4}{3}{x^3} - 6{x^2} + 9x + C\].

\(F\left( { - 1} \right) =  - 17 \Leftrightarrow \frac{4}{3}.{\left( { - 1} \right)^3} - 6.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.\left( { - 1} \right) + C =  - 17 \Leftrightarrow C =  - \frac{2}{3}\).

Vậy nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {2x - 3} \right)^2}\] thỏa mãn \(F\left( { - 1} \right) =  - 17\) là\[\frac{4}{3}{x^3} - 6{x^2} + 9x - \frac{2}{3}\].

Chọn B

Ta có \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{2}{{x + 2}}{\rm{\;d}}x}  = 2{\rm{ln}}\left| {x + 2} \right| + C\].

Do \(F\left( { - 1} \right) = 1\) nên \(2{\rm{ln}}\left| { - 1 + 2} \right| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2{\rm{ln}}\left| {x + 2} \right| + 1 \Rightarrow F\left( 2 \right) = 2{\rm{ln}}4 + 1 = 4{\rm{ln}}2 + 1\).

Chọn C

\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)} {\rm{d}}x = 3\int {\cos x} {\rm{d}}x - 4\int {\sin x{\rm{d}}x} \)\( = 3\sin x + 4\cos x + C\).

Chọn A

Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {2\sin x + \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = 2\int {\sin x{\rm{d}}x + 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} } \] \[ =  - 2\cos x - 3\cot x + C\].

Chọn D

Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {{{\tan }^2}x{\rm{d}}x}  + \int {{{\cot }^2}x{\rm{d}}x}  = \int {\left( {1 + {{\tan }^2}x - 1} \right){\rm{d}}x}  + \int {\left( {1 + {{\cot }^2}x - 1} \right){\rm{d}}x} \]

\[ = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right){\rm{d}}x}  + \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right){\rm{d}}x} \]\[ = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x}  + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x}  - 2\int {{\rm{d}}x} \]

\[ = \tan x - \cot x - 2x + C\].

Chọn D

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {3 - 5{\rm{cos}}x} \right){\rm{d}}x}  = 3x - 5{\rm{sin}}x + C\).

Ta lại có:\(f\left( 0 \right) = 5 \Rightarrow 3 \cdot 0 - 5{\rm{sin}}0 + C = 5 \Leftrightarrow C = 5\).

Vậy \(f\left( x \right) = 3x - 5{\rm{sin}}x + 5\).