Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án

A. Trắc nghiệm

Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)và có đồ thị \(\left( C \right)\) là đường cong như hình dưới.

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu \(f\left( t \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau \(t\) giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ \(f'\left( t \right) = {t^2} - 8t\) (con/giờ).

a) Họ nguyên hàm của \(f'\left( t \right)\) là \(\frac{{{t^3}}}{3} - 8{t^2} + C\) \(\left( {C \in \mathbb{R}} \right)\).

b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến 10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.

c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.

d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.

Một quả cầu lông được đánh lên từ độ cao \[2,2\,{\rm{m}}\] với vận tốc được tính bởi công thức sau đây \[v\left( t \right) =  - \,0,8\,t + 4,16\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].

a) Công thức tính độ cao của quả cầu theo \[t\] là \[h\left( t \right) =  - \,0,4\,{t^2} + 4,16t + \,2,2\,\left( {\rm{m}} \right)\].

b) Quả cầu đạt độ cao cao nhất tại thời điểm \[t = 5,2\,\left( {\rm{s}} \right)\].

c) Độ cao cao nhất của quả cầu bằng \[13,016\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

d) Thời điểm quả cầu chạm đất là \[t = 10,5\,\,\left( {\rm{s}} \right)\].

Giả sử chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong \(x\) năm có thể được mô hình hóa theo công thức \(C = 5000\left( {25 + 3\int\limits_0^x {{t^{\frac{1}{4}}}{\rm{d}}t} } \right)\) (đồng).

a) Chi phí mua 1 sản phẩm là 100 000 đồng.

b) Chi phí bảo trì năm đầu tiên của 1 sản phẩm là \(12\,000\) đồng.

c) Sau 6,5 năm thì số tiền mua một sản phẩm bằng số tiền bảo trì sản phẩm đó.

d) Nếu một nhà đầu tư có 10 triệu đồng, thì họ có thể mua và bảo trì tối đa 30 sản phẩm trong 10 năm.

Một ô tô đang chạy với vận tốc \(18\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) = 18 - 36t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\], trong đó \(t\) là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh.

a) Thời gian kể từ lúc hãm phanh đến lúc xe dừng hẳn là \(1,5\) giây.

b) Quãng đường xe đi được sau \(0,3\) giây kể từ lúc hãm phanh là \(3\) mét.

c) Quãng đường kể từ lúc hãm phanh đến lúc xe dừng hẳn là \(4,5\) mét.

d) Gia tốc tức thời của chuyển động này là \(36\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\).

Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)\] có dạng đường thẳng khi \[0 \le t \le 3\left( {\rm{s}} \right)\] và \[8 \le t \le 15\left( {\rm{s}} \right)\] và \[v\left( t \right)\] có dạng đường Parabol khi \[3 \le t \le 8\left( {\rm{s}} \right)\] (như hình vẽ).

a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 15\) là \(v\left( {15} \right) = 21\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

b) Quãng đường chất điểm di chuyển được trong \(3\) giây đầu tiên là: \[{S_1} = \int\limits_0^3 {11{\rm{d}}t} \,\left( {\rm{m}} \right)\].

c) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ \(8\) giây đến \(15\) giây bằng \(73,5\left( {\rm{m}} \right).\)

d) Vận tốc trung bình \({v_{tb}}\) của chất điểm trong khoảng thời gian từ \(3\) đến \(8\) giây thỏa mãn \({v_{tb}} < 7\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có \(O\left( {0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,1} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1} \right)\), \(C\left( {1\,;\,0} \right)\) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}.\)

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\), trục \(Ox\), đường thẳng\(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt[3]{x}} \right|} \,{\rm{d}}x\).

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục \(Ox\),đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) có giá trị bằng \(\frac{3}{4}\)(đvdt).

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\), đường thẳng\(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \[S = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - \sqrt[3]{x}} \right){\rm{d}}x} \].

d) Diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men có giá trị bằng \(\frac{1}{2}\)(đvdt).

Người ta chế tác một giọt nước bằng thủy tinh. Biết giọt nước thủy tinh này là vật thể tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4 - {x^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( { - 2 \le x \le 0,6} \right)\\ - \frac{{\sqrt {91} }}{{20}}x + \frac{{23\sqrt {91} }}{{100}}\,\,\,\,\left( {0,6 < x \le 4,6} \right)\end{array} \right.\] và trục \[Ox\] quanh trục \[Ox\] (đơn vị trên trục là centimet). 

a) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 0,6\].

b) Diện tích mặt cắt của giọt nước thủy tinh khi cắt bởi mặt phẳng qua trục được tính bởi công thức \[S = 2\int\limits_{ - 2}^{4,6} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \] cm².

c) Thể tích của giọt nước thủy tinh này lớn hơn 40 cm3.

d) Biết khối lượng riêng của thủy tinh là \[\rho  = 2,6\] g/cm3, khối lượng của giọt nước thủy tinh này là 102,22 g (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x\] có đồ thị như hình vẽ.

a) \[\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 0\].

b) Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\], khi đó \[F\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\].

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0,x = 2\] là \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\].

d) Gọi \[\left( D \right)\] là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục hoành, trục tung và đường thẳng \[x = 1\]. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \[\left( D \right)\] quanh trục hoành được tính theo công thức \[\pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\].

Một người điều khiển xe Taxi xuất phát từ trạm thu phí muốn nhập làn vào đường cao tốc, chuyển động tăng tốc với tốc độ \(v\left( t \right) = \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) (trong đó, \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí). Từ trạm thu phí đó, một xe Cứu thương cũng xuất phát, chuyển động thẳng cùng hướng với xe Taxi nhưng chậm hơn 1 giây so với xe Taxi và có gia tốc bằng \(a\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi xe Cứu thương xuất phát được \(17\)giây thì đuổi kịp xe Taxi. Biết rằng, xe Taxi nhập làn cao tốc sau 20 giây và cả hai xe duy trì sự tăng tốc trong \(28\) giây kể từ khi Taxi rời trạm thu phí.

a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \(187\,{\rm{m}}\).

b) Xe cứu thương chuyển động với gia tốc \(a = \frac{{300}}{{289}}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).

c) Vận tốc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của xe Cứu thương tại thời điểm đuổi kịp xe Taxi khoảng \(16\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).

d) Trong khoảng thời gian kể từ lúc hai xe gặp nhau cho đến giây thứ \(28\) (kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí) vận tốc trung bình của xe Cứu thương lớn hơn vận tốc trung bình của xe Taxi.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Tốc độ \(v\left( {{\rm{\;km}}/{\rm{ph\'u t}}} \right)\) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian \(t\) (phút) như đồ thị ở hình vẽ sau:

Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm có một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, đường parabol đó đi qua hai đầu mút của mỗi cạnh (xem hình sau). Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất sau dấu phẩy theo đơn vị decimet vuông).

B. Tự luận

a) Viết công thức của hàm số \(B\left( t \right)\) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0 \le t \le 15\).

b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?

Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình vẽ dưới đây:

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường và vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình sau (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét).

a) Lập phương trình các parabol \[y = f\left( x \right)\] và \[y = g\left( x \right)\].

b) Tính diện tích của logo.

c) Logo chỉ cho phép 50% lượng ánh sáng đi qua. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?