Bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm lớp 12 (có lời giải)

96 người thi tuần này 4.6 2.2 K lượt thi 25 câu hỏi 60 phút

Bài giảng / Lý thuyết:

Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Vận dụng nguyên hàm vào giải quyết bài toán liên quan thực tế

🔥 Học sinh cũng đã học

246 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2026-2027 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

492 lượt thi 22 câu hỏi

465 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án

6 K lượt thi 22 câu hỏi

174 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án

5.7 K lượt thi 22 câu hỏi

201 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án

5.7 K lượt thi 22 câu hỏi

94 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Mạc Đĩnh Chi (TP.HCM) có đáp án

5.6 K lượt thi 21 câu hỏi

74 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

5.6 K lượt thi 22 câu hỏi

78 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án

5.6 K lượt thi 22 câu hỏi

114 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án

5.6 K lượt thi 22 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/25

Cho hàm số f(x) = 3x² + 2x. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

A. F₁(x) = x³ + x² – 4;

B. \({F_2}\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\);

C. F₃(x) = x³ − x² + 1;

D. F₄(x) = 3x³ + x².

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Vì F₁'(x) = 3x² + 2x = f(x).

Do đó F₁(x) = x³ + x² – 4 là một nguyên hàm của f(x) = 3x² + 2x trên ℝ.

Câu 2/25

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{{\sqrt x }}\). Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (0; +∞).

A. \({F_1}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \sqrt x \);

B. \({F_2}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt x \);

C. \({F_3}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 2\sqrt x \);

D. \({F_4}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt x \).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Có \({F'_4}\left( x \right) = x - \frac{1}{{\sqrt x }} = f\left( x \right)\).

Câu 3/25

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x}\). Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên (0; +∞).

A. \({F_1}\left( x \right) = 3x - \frac{1}{{{x^2}}}\);

B. \({F_2}\left( x \right) = 3x + \ln x\);

C. \({F_3}\left( x \right) = 3x + \frac{1}{{{x^2}}}\);

D. F₄(x) = 3x – lnx.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Có \({F'_2}\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x} = f\left( x \right)\).

Câu 4/25

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A. F'(x) = −f(x), ∀x K;

B. f'(x) = F(x), ∀x K;

C. F'(x) = f(x), ∀x K;

D. f'(x) = −F(x), ∀x K.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x), ∀x K.

Câu 5/25

Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. F(x) = f'(x);

B. F'(x) = f(x);

C. \({\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = F'\left( x \right)\);

D. \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa suy ra A sai.

Câu 6/25

Cho \(\int {f\left( x \right)dx} = {F_1}\left( x \right),\int {g\left( x \right)dx} = {F_2}\left( x \right)\). Tính \(I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} dx\).

A. 2F₁(x) – F₂(x) + C;

B. F₂(x) – F₁(x) + C;

C. 2F₂(x) – F₁(x) + C;

D. |F₁(x) + F₂(x)| + C.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

\(I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} dx\)\( = 2\int {g\left( x \right)} dx - \int {f\left( x \right)} dx = 2{F_2}\left( x \right) - {F_1}(x) + C\).

Câu 7/25

Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \);

B. \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \);

C. \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R}\);

D. \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R},k \ne 0\).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R},k \ne 0\) nên đáp án C sai.

Câu 8/25

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ. Số nguyên hàm của hàm số f(x) là

A. Vô số;

B. 0;

C. 2;

D. 1.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ thì có vô số nguyên hàm trên ℝ.

Câu 9/25

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x². Biểu thức F'(25) bằng

A. 5;

B. 625;

C. 25;

D. 125.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/25

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. F(x) = cos²x + 24 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = −sin2x;

B. F(x) = tanx + 12 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + tan²x;

C. F(x) = 36^2x là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{1296}^x}}}{{\ln 1296}}\);

D. F(x) = x(x – 2) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên (−1; +∞).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/25

Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x\). Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực?

A. \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}\).

B. \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}\).

C. \(F(x) = {x^3} - {x^2}\).

D. F(x) = 2x − 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/25

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} + x\).

A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).

B. \(\int {f(x)dx} = {x^3} + {x^2} + C\).

C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\).

D. \(\int {f(x)dx} = 2x + 1 + C\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/25

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A. \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2} - \ln x\).

B. \(F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x\).

C. \(F(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\).

D. \(F(x) = {x^2} + \ln x\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/25

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2}\).

A. \(\int {f(x)dx} = - \frac{3}{2}{x^3} + C\).

B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{x^3} + C\).

C. \(\int {f(x)dx} = - 3x + C\).

D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{6}{x^3} + C\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/25

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4x{\left( {x - 1} \right)^2}\).

A. \(\int {f(x)dx} = {x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C\).

B. \(\int {f(x)dx} = {x^4} - 8{x^3} + 4{x^2} + C\).

C. \(\int {f(x)dx} = 4{x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C\).

D. \(\int {f(x)dx} = {x^4} + \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/25

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi x thuộc K.

Đúng

Sai

b) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số F(x) - C không phải là nguyên hàm của f(x) trên K.

Đúng

Sai

c) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số).

Đúng

Sai

d) Kí hiệu họ các nguyên hàm của f(x) trên K là \(\int {f(x)dx} = F(x) + C\).

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/25

Cho hàm số \(f(x) = {x^3}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hàm số \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực.

Đúng

Sai

b) Hàm số \(G(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - 5\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực.

Đúng

Sai

c) \(\int {{x^3}dx} = 3{x^2} + C\) với C là hằng số.

Đúng

Sai

d) Tồn tại duy nhất một hằng số C để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(2) = 5.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/25

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), biết \(f'(x) = 2x - \frac{3}{{{x^2}}}\) và f(1) = 2. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(2x - \frac{3}{{{x^2}}}\).

Đúng

Sai

b) Họ các nguyên hàm của hàm số \(2x - \frac{3}{{{x^2}}}\) là \({x^2} - \frac{3}{x} + C\).

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) cần tìm là \(f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} - 2\).

Đúng

Sai

d) Giá trị của f(3) bằng 8.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/25

Xét việc tính nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}}dx} \) với x > 0. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) \(\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).

Đúng

Sai

b) \(\int {\frac{4}{x}dx} = 4\ln x + C\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Đúng

Sai

c) \(\int {\frac{4}{{{x^2}}}dx} = \frac{4}{x} + C\).

Đúng

Sai

d) \(I = 4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/25

Cho hai hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) và \(g(x) = 2x\) xác định trên tập số thực. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực là hàm số \({x^3}\).

Đúng

Sai

b) Họ các nguyên hàm của hàm số g(x) là \(\int {g(x)dx} = {x^2} + C\).

Đúng

Sai

c) Nguyên hàm của một hiệu được tính bằng công thức \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = {x^3} - {x^2} + C\).

Đúng

Sai

d) Nguyên hàm của một tích được tính bằng công thức \(\int {f(x) \cdot g(x)dx} = \int {f(x)dx} \cdot \int {g(x)dx} \)

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 17/25 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hàm số f(x) = 3x² + 2x. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.