Bài tập Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/22

Cho hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1$ và $F\left( 2 \right) = 2$. Tính $F\left( 3 \right)$.

Trả lời: ………………………….

Lời giải

Ta có \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx = {x^3} - 2{x^2} + x + C} \]. Mà $F\left( 2 \right) = 2$ nên suy ra $C = 0$

Vậy hàm số $F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x$. Suy ra $F\left( 3 \right) = 12$.

Câu 2/22

Cho hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)$ và $F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6}$. Tính $F\left( { - \frac{1}{2}} \right)$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời: ………………………….

Lời giải

Trả lời: $0,49$

Ta có: $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)$$ = 2{x^3} + {x^2} - 4x - 2$.

Suy ra $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2{x^3} + {x^2} - 4x - 2} \right){\rm{d}}x} $

$ = \int {2{x^3}{\rm{d}}x} + \int {{x^2}{\rm{d}}x} - \int {4x{\rm{d}}x} - \int {2{\rm{d}}x} $

$ = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x + C,\,C \in \mathbb{R}$

Mà $F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6}$ nên suy ra $C = 0$.

Vậy hàm số $F\left( x \right) = = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x \Rightarrow F\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{47}}{{96}} \approx 0,49$

Câu 3/22

Một vật được ném lên từ độ cao 300 m với vận tốc được cho bởi công thức $v\left( t \right) = - 9,81t + 29,43\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Gọi $h\left( t \right)\,\left( {\rm{m}} \right)$ là độ cao của vật tại thời điểm $t\left( {\rm{s}} \right)$. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu được ném lên thì vật đó chạm đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Trả lời: ………………………….

Lời giải

Trả lời: 11

Ta có: $h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( { - 9,81t + 29,43} \right){\rm{d}}t} = - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + C$.

Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên $h\left( 0 \right) = 300 \Rightarrow C = 300$.

Vậy $h\left( t \right) = - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + 300$. Khi vật bắt đầu chạm đất ứng với $h\left( t \right) = 0$.

Nên ta có: $ - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + 300 = 0 \Leftrightarrow t \approx 11$ hoặc $t \approx - 5$.

Do $t > 0$ nên $t \approx 11\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Câu 4/22

Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm $x$ (triệu đồng) $\left( {x \ge 0} \right)$. Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T'\left( x \right) = - 20x + 300$, trong đó $T'\left( x \right)$ tính bằng triệu đồng (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Tìm giá trị của $x$ để người đó có doanh thu là cao nhất?

Trả lời: ………………………….

Lời giải

Trả lời: 15

Ta có: $T\left( x \right) = \int {T'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( { - 20x + 300} \right){\rm{d}}x} = - 10{x^2} + 300x + C,\,C \in \mathbb{R}$.

Khi người đó tăng giá cho thuê mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Nên ứng với $x = 10$ ta có $T\left( {10} \right) = 12\,000$ suy ra

$12000 = - {10.10^2} + 300.10 + C \Rightarrow C = 10000$.

Vậy $T\left( x \right) = - 10{x^2} + 300x + 10000$. Ta có $T\left( x \right)$ là một hàm bậc hai với hệ số $a < 0$ và đồ thị hàm số có đỉnh là $I\left( {15;12250} \right)$.

Vậy doanh thu cao nhất mà người đó có thể thu về là 12 250 triệu đồng và khi đó mỗi gian hàng đã tăng giá cho thuê thêm 15 triệu đồng.

Câu 5/22

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 / (m s) thì người người đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right) = - 40t + 20\left( {m/s} \right)$, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Gọi $s\left( t \right)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Trả lời: ………………………….

Lời giải

Ta có:

$v\left( t \right) = - 40t + 20$

$ \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C$

$ \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$ $ \Rightarrow C = 0$

$ \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0,5$.

từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: $s\left( {0,5} \right) = - 20{\left( {0,5} \right)^2} + 20\left( {0,5} \right) = 5m$

Câu 6/22

Bạn Minh Hiền ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy báy là $v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\left( {m/s} \right)$. Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

Trả lời: ………………………….

Lời giải

Ta có:

$v\left( t \right) = 3{t^2} + 5$

$ \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C$

$ \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$ $ \Rightarrow C = 0$

$ \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t$

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 là: $s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84m$

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 10 là: $s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050m$

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: \[s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966m\]

Câu 7/22

Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = - 6 t + 12 (m / s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?

Trả lời: ………………………….

Lời giải

12 mét

Câu 8/22

Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc $a (t) = 1 + \frac{t}{3}$ tính quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.

Trả lời: ………………………….

Lời giải

90 mét

Câu 9/22