Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) được xác định bằng công thức hiệu tọa độ của điểm cuối và điểm đầu:

\(\overrightarrow {BA} = \left( {{x_A} - {x_B};{y_A} - {y_B};{z_A} - {z_B}} \right)\).

Thay tọa độ \(A\left( {1;1; - 2} \right)\) và \(B\left( {3; - 1;2} \right)\) vào, ta được: \(\overrightarrow {BA} = \left( {1 - 3;1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2} \right) = \left( { - 2;2; - 4} \right)\).

Chọn đáp án C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm: \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Lập bảng biến thiên, ta thấy

Tại \(x = 0\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số.

Tại \(x = 2\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên \(x = 2\) là điểm cực tiểu của hàm số.

Tính giá trị cực tiểu: \({y_{{\rm{ct}}}} = y\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2025 = 8 - 12 + 2025 = 2021\).

Chọn đáp án A.

Tập xác định: Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) (vì mẫu số \(x + 1 \ne 0\) trên đoạn này).

Tính đạo hàm: \(y' = \frac{{3\left( {x + 1} \right) - \left( {3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\quad \forall x \in \left[ {0;2} \right]\).

Do \(y' > 0\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm \(x = 2\): \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = \frac{{3 \cdot 2 + 2}}{{2 + 1}} = \frac{8}{3}\).

Chọn đáp án B.

Hàm doanh thu của công ty khi bán ra \(x\) sản phẩm là: \(R\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) = x\left( {400 - 2x} \right) = 400x - 2{x^2}\).

Khi bán ra \(x = 20\) sản phẩm, doanh thu thu được là:

\(R\left( {20} \right) = 20 \cdot \left( {400 - 2 \cdot 20} \right) = 20 \cdot 360 = 7200\) (triệu đồng).

Chọn đáp án B.

Phương trình vận tốc tức thời của xe là đạo hàm bậc nhất của phương trình tọa độ theo thời gian \(t\):

\(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = 12t - 6{t^2},\quad t \in \left[ {0;2} \right]\)

Để tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất, ta xét hàm số \(v\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\):

Đạo hàm của vận tốc (gia tốc): \(v'\left( t \right) = 12 - 12t\).

Tìm nghiệm của đạo hàm: \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 12 - 12t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \in \left[ {0;2} \right]\).

Tính giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:

\(v\left( 0 \right) = 12 \cdot 0 - 6 \cdot {0^2} = 0{\rm{\;m/s}}\)

\(v\left( 2 \right) = 12 \cdot 2 - 6 \cdot {2^2} = 24 - 24 = 0{\rm{\;m/s}}\)

\(v\left( 1 \right) = 12 \cdot 1 - 6 \cdot {1^2} = 6{\rm{\;m/s}}\)

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng \(6{\rm{\;m/s}}\) tại thời điểm \(t = 1{\rm{\;s}}\).

Chọn đáp án C.

Ta có \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{x + 2}} = \frac{{2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) + 1}}{{x + 2}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\).

Do đó, đường thẳng \(y = 2x - 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án A.

Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\):

Tiệm cận đứng: Đồ thị nhận đường thẳng nét đứt đứng đi qua giá trị \(x = - 1\) làm tiệm cận đứng \( \Rightarrow \) loại đáp án A (có tiệm cận đứng \(x = 1\)).

Tiệm cận ngang: Đồ thị nhận đường thẳng nét đứt nằm ngang đi qua giá trị \(y = - 2\) làm tiệm cận ngang:

Xét phương án B: \(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = - 2\).

Xét phương án D: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = 2\) (Loại).

Xét phương án C: Đây là hàm bậc hai trên bậc nhất, đồ thị không có dạng này (Loại).

Chọn đáp án B.

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).

Gọi tọa độ điểm \(D\) là \(\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} - \left( { - 3} \right);{y_D} - 1;{z_D} - 2} \right) = \left( {{x_D} + 3;{y_D} - 1;{z_D} - 2} \right)\),

\(\overrightarrow {BC} = \left( {1 - \left( { - 2} \right); - 3 - 4;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {3; - 7;4} \right)\).

Đồng nhất tọa độ hai vế: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} + 3 = 3}\\{{y_D} - 1 = - 7}\\{{z_D} - 2 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = 0}\\{{y_D} = - 6}\\{{z_D} = 6}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ điểm \(D\) là \(D\left( {0; - 6;6} \right)\).

Chọn đáp án A.