Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lương Thế Vinh (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn khảo sát, ta thấy:

• Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm cao nhất của đồ thị: \(\max y = 1\).
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại điểm thấp nhất của đồ thị: \(\min y = - 2\).

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là: \(\max y + \min y = 1 + \left( { - 2} \right) = - 1\).

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(y' > 0\) với mọi \(x \ne - 1\). Do đó, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định riêng biệt của nó.

Theo quy tắc kết luận về tính đơn điệu của hàm số, ta phải dùng từ "và" hoặc dấu chấm phẩy ";" để ngăn cách các khoảng, không được dùng ký hiệu hợp (\( \cup \)) hoặc hiệu (\(\backslash \)).

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Trong hình bình hành \(OADB\), hai đường chéo là \(OD\) và \(AB\). Giao điểm \(I\) của hai đường chéo chính là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Tọa độ điểm \(A\) chính là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right)\).

Tọa độ điểm \(B\) chính là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OB} \Rightarrow B\left( {1;1;0} \right)\).

Tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\) được tính theo công thức:

\({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 1 + 1}}{2} = 0\)

\({y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)

\({z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\)

Vậy tọa độ giao điểm hai đường chéo là \(I\left( {0;1;0} \right)\).

Chọn A.

Giá trị đại diện \({x_i}\) của các nhóm lần lượt là:

\({x_1} = \frac{{18 + 20}}{2} = 19,\quad {x_2} = \frac{{20 + 22}}{2} = 21,\quad {x_3} = \frac{{22 + 24}}{2} = 23,\quad {x_4} = \frac{{24 + 26}}{2} = 25\).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{6 \cdot 19 + 23 \cdot 21 + 12 \cdot 23 + 9 \cdot 25}}{{50}} = \frac{{114 + 483 + 276 + 225}}{{50}} = \frac{{1098}}{{50}} = 21,96\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

\({s^2} = \frac{1}{{50}}\left[ {6 \cdot {{\left( {19 - 21,96} \right)}^2} + 23 \cdot {{\left( {21 - 21,96} \right)}^2} + 12 \cdot {{\left( {23 - 21,96} \right)}^2} + 9 \cdot {{\left( {25 - 21,96} \right)}^2}} \right]\)\( = 3,3984\).

Độ lệch chuẩn là: \(s = \sqrt {3,3984} \approx 1,8435 \approx 1,84\).

Chọn A.

Xét từng phương án:

• A. \(\vec a \cdot \vec c = \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 \ne 1\). (Sai)
• B. \(\vec a + \vec b + \vec c = \left( { - 1 + 1 + 1;1 + 1 + 1;0 + 0 + 1} \right) = \left( {1;3;1} \right) \ne \vec 0\). (Sai)
• C. Hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) không tỉ lệ nên không cùng phương. (Sai)
• D. Tính \(\cos \left( {\vec b,\vec c} \right)\): \(\vec b \cdot \vec c = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2\), \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 ,\quad \left| {\vec c} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\cos \left( {\vec b,\vec c} \right) = \frac{{\vec b \cdot \vec c}}{{\left| {\vec b\left| \cdot \right|\vec c} \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).

Chọn D.

Ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Hàm số chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn). Do đó đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua điểm \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn B.

Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) và các cạnh đối song song với đáy dưới nên ta có \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \).

Do đó tích vô hướng trở thành: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).

Ta có độ dài các đoạn thẳng: \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh \(a\)).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) chính là \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).

Áp dụng định nghĩa tích vô hướng:

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

Chọn A.

Điều kiện xác định: \( - {x^2} - 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1\).

Xét biểu thức bậc hai dưới dấu căn: \(g\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3\).

Biến đổi hằng đẳng thức: \(g\left( x \right) = - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 4 = 4 - {\left( {x + 1} \right)^2}\).

Vì \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ { - 3;1} \right]\) nên: \(g\left( x \right) \le 4 \Rightarrow y = \sqrt {g\left( x \right)} \le \sqrt 4 = 2\).

Dấu "=" xảy ra khi \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

Chọn C.