PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {4 - {x^2}} \). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?

Đáp án:

Gọi tâm của hình vuông tấm bìa \(ABCD\) ban đầu là \(O\). Đây cũng chính là tâm hình vuông đáy \(EFGH\) của khối chóp sau khi dựng lên.

Xét trục tọa độ thẳng đứng đi qua \(O\). Gọi khoảng cách từ tâm \(O\) đến các đỉnh của hình vuông đáy \(EFGH\) là \({y_E}\) (\(OE = OF = OG = OH = {y_E}\)).

Khi đó đáy hình vuông \(EFGH\) có độ dài đường chéo là \(2{y_E}\).

Diện tích của hình vuông đáy \(EFGH\) là: \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {2{y_E}} \right)^2} = 2y_E^2\).

Khi gấp các tam giác cân lên, các đỉnh \(A,B,C,D\) chụm lại thành đỉnh đỉnh chóp \(S\) nằm trên trục thẳng đứng đi qua \(O\).

Độ dài cạnh bên của hình chóp chính bằng khoảng cách từ đỉnh của tấm bìa (ví dụ điểm \(A\)) tới điểm gấp \(E\).

Trong mặt phẳng tấm bìa phẳng ban đầu, tọa độ điểm \(A\) so với tâm \(O\left( {0;0} \right)\) là \(\left( { - 2,5;2,5} \right)\) nên \(O{A^2} = 2,{5^2} + 2,{5^2} = 12,5\).

Khoảng cách giữa \(A\) và \(E\) trên tấm bìa phẳng là cạnh bên của khối chóp sau khi xếp:

\(S{A^2} = A{E^2} = 2,{5^2} + {\left( {2,5 - {y_E}} \right)^2} = 6,25 + 6,25 - 5{y_E} + y_E^2 = 12,5 - 5{y_E} + y_E^2\).

Trong khối chóp đều \(S.EFGH\), chiều cao \(h = SO\) của khối chóp được tính bằng hệ thức lượng vuông góc:

\({h^2} = S{E^2} - O{E^2} = S{A^2} - y_E^2 = \left( {12,5 - 5{y_E} + y_E^2} \right) - y_E^2 = 12,5 - 5{y_E}\).

Thể tích của khối chóp tứ giác đều thu được là: \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{EFGH}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2y_E^2 \cdot \sqrt {12,5 - 5{y_E}} \).

Để tìm thể tích lớn nhất, ta xét hàm số \(f\left( {{y_E}} \right) = y_E^4\left( {12,5 - 5{y_E}} \right)\).

Đạo hàm theo biến \({y_E}\): \(f'\left( {{y_E}} \right) = 4y_E^3\left( {12,5 - 5{y_E}} \right) + y_E^4 \cdot \left( { - 5} \right) = 50y_E^3 - 20y_E^4 - 5y_E^4 = 50y_E^3 - 25y_E^4\).

Ta có \(f'\left( {{y_E}} \right) = 0 \Leftrightarrow 25y_E^3\left( {2 - {y_E}} \right) = 0 \Leftrightarrow {y_E} = 2{\rm{\;(cm)}}\).

Thay \({y_E} = 2\) vào công thức tính thể tích, ta thu được thể tích cực đại:

\({V_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot {2^2} \cdot \sqrt {12,5 - 5 \cdot 2} = \frac{8}{3} \cdot \sqrt {2,5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{2} = \frac{{4\sqrt {10} }}{3} \approx 4,216{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, thể tích lớn nhất bằng \(4,2{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\).

Kết quả: 4,2.

Đáp án:

Hệ ba chân đối xứng hoàn toàn qua trục \(Oz\) vì các điểm đáy nằm trên tháp tròn đều tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) bán kính bằng 1 trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Do tính chất đối xứng, độ lớn lực nén lên ba chân là bằng nhau: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = F\).

Các lực tác dụng theo phương của các chân giá đỡ, tức là hướng từ \(E\) đến \({A_i}\).

Vectơ \(\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;1; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {E{A_1}} } \right| = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {37} \).

Vectơ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {E{A_1}} \) nên có thể viết dưới dạng: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{F}{{\sqrt {37} }}\left( {0;1; - 6} \right)\).

Tương tự cho các lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \), hình chiếu của chúng lên trục \(Oz\) đều bằng nhau và có giá trị:

\({F_{1z}} = {F_{2z}} = {F_{3z}} = - 6 \cdot \frac{F}{{\sqrt {37} }}\).

Tổng các thành phần lực theo phương đứng cân bằng với trọng lượng của máy (300 N):

\(3 \cdot \left( {6 \cdot \frac{F}{{\sqrt {37} }}} \right) = 300 \Rightarrow \frac{{18F}}{{\sqrt {37} }} = 300\)\( \Rightarrow F = \frac{{300\sqrt {37} }}{{18}} = \frac{{50\sqrt {37} }}{3} \approx 101,38{\rm{\;N}}\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng 101 N.

Kết quả: 101.