Một nhà in sử dụng các trang giấy hình chữ nhật để in sách. Sau khi để lề trái, lề phải, lề trên và lề dưới theo số liệu hình bên dưới thì diện tích phần in chữ trên trang sách (phần hình chữ nhật bên trong) là \(30{\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\).

Tính kích thước trang giấy để diện tích sử dụng ít nhất. Khi đó diện tích sử dụng nhỏ nhất bằng bao nhiêu \({\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\)?

Đáp án:

Gọi tâm của hình vuông tấm bìa \(ABCD\) ban đầu là \(O\). Đây cũng chính là tâm hình vuông đáy \(EFGH\) của khối chóp sau khi dựng lên.

Xét trục tọa độ thẳng đứng đi qua \(O\). Gọi khoảng cách từ tâm \(O\) đến các đỉnh của hình vuông đáy \(EFGH\) là \({y_E}\) (\(OE = OF = OG = OH = {y_E}\)).

Khi đó đáy hình vuông \(EFGH\) có độ dài đường chéo là \(2{y_E}\).

Diện tích của hình vuông đáy \(EFGH\) là: \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {2{y_E}} \right)^2} = 2y_E^2\).

Khi gấp các tam giác cân lên, các đỉnh \(A,B,C,D\) chụm lại thành đỉnh đỉnh chóp \(S\) nằm trên trục thẳng đứng đi qua \(O\).

Độ dài cạnh bên của hình chóp chính bằng khoảng cách từ đỉnh của tấm bìa (ví dụ điểm \(A\)) tới điểm gấp \(E\).

Trong mặt phẳng tấm bìa phẳng ban đầu, tọa độ điểm \(A\) so với tâm \(O\left( {0;0} \right)\) là \(\left( { - 2,5;2,5} \right)\) nên \(O{A^2} = 2,{5^2} + 2,{5^2} = 12,5\).

Khoảng cách giữa \(A\) và \(E\) trên tấm bìa phẳng là cạnh bên của khối chóp sau khi xếp:

\(S{A^2} = A{E^2} = 2,{5^2} + {\left( {2,5 - {y_E}} \right)^2} = 6,25 + 6,25 - 5{y_E} + y_E^2 = 12,5 - 5{y_E} + y_E^2\).

Trong khối chóp đều \(S.EFGH\), chiều cao \(h = SO\) của khối chóp được tính bằng hệ thức lượng vuông góc:

\({h^2} = S{E^2} - O{E^2} = S{A^2} - y_E^2 = \left( {12,5 - 5{y_E} + y_E^2} \right) - y_E^2 = 12,5 - 5{y_E}\).

Thể tích của khối chóp tứ giác đều thu được là: \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{EFGH}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2y_E^2 \cdot \sqrt {12,5 - 5{y_E}} \).

Để tìm thể tích lớn nhất, ta xét hàm số \(f\left( {{y_E}} \right) = y_E^4\left( {12,5 - 5{y_E}} \right)\).

Đạo hàm theo biến \({y_E}\): \(f'\left( {{y_E}} \right) = 4y_E^3\left( {12,5 - 5{y_E}} \right) + y_E^4 \cdot \left( { - 5} \right) = 50y_E^3 - 20y_E^4 - 5y_E^4 = 50y_E^3 - 25y_E^4\).

Ta có \(f'\left( {{y_E}} \right) = 0 \Leftrightarrow 25y_E^3\left( {2 - {y_E}} \right) = 0 \Leftrightarrow {y_E} = 2{\rm{\;(cm)}}\).

Thay \({y_E} = 2\) vào công thức tính thể tích, ta thu được thể tích cực đại:

\({V_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot {2^2} \cdot \sqrt {12,5 - 5 \cdot 2} = \frac{8}{3} \cdot \sqrt {2,5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{2} = \frac{{4\sqrt {10} }}{3} \approx 4,216{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, thể tích lớn nhất bằng \(4,2{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\).

Kết quả: 4,2.

a) ĐÚNG: Điều kiện để hàm số xác định là: \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\). Vậy \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).

b) ĐÚNG: Đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\);

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left( { - 2;2} \right).\)

c) SAI: Tại các biên \(x = \pm 2\), ta có \(f\left( { \pm 2} \right) = 0\). Tại điểm cực trị \(x = 0\), ta có \(f\left( 0 \right) = 2\). Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0\). Khẳng định phát biểu giá trị nhỏ nhất bằng 2 là sai.

d) ĐÚNG: Đặt \(t = f\left( x \right)\). Vì \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) nên \(t \in \left[ {0;2} \right]\). Khi đó: \(g\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t + 1}}\).

Ta thấy hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Do đó giá trị lớn nhất đạt được khi \(t\) đạt giá trị lớn nhất: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 2 \right) = \frac{{2 - 2}}{{2 + 1}} = 0\).