Một nhà in sử dụng các trang giấy hình chữ nhật để in sách. Sau khi để lề trái, lề phải, lề trên và lề dưới theo số liệu hình bên dưới thì diện tích phần in chữ trên trang sách (phần hình chữ nhật bên trong) là \(30{\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\).
Tính kích thước trang giấy để diện tích sử dụng ít nhất. Khi đó diện tích sử dụng nhỏ nhất bằng bao nhiêu \({\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Gọi kích thước phần in chữ hình chữ nhật bên trong lần lượt là \(x\) (in) và \(y\) (in) với \(x,y > 0\).
Theo đề bài, diện tích phần in chữ là: \(x \cdot y = 30 \Rightarrow y = \frac{{30}}{x}\).
Kích thước tổng thể của toàn bộ trang giấy sau khi cộng thêm các khoảng lề là:
- Chiều rộng trang giấy: \(x + 2 + 2 = x + 4\).
- Chiều dài trang giấy: \(y + 1 + 1 = y + 2\).
Diện tích của toàn bộ trang giấy cần dùng là: \(S = \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 2x + 4y + 8\).
Thay \(xy = 30\) và \(y = \frac{{30}}{x}\) vào biểu thức diện tích: \(S = 30 + 2x + 4 \cdot \frac{{30}}{x} + 8 = 38 + 2x + \frac{{120}}{x}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương \(2x\) và \(\frac{{120}}{x}\):
\(2x + \frac{{120}}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{{120}}{x}} = 2\sqrt {240} = 8\sqrt {15} \approx 30,98\).
Từ đó giá trị nhỏ nhất của diện tích là: \({S_{{\rm{min}}}} = 38 + 8\sqrt {15} \approx 68,98{\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\).
Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được \(69{\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\).
Kết quả: 69.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
b. \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\).
d. Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{f\left( x \right) + 1}}\) có giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) là 0.
Lời giải
a) ĐÚNG: Điều kiện để hàm số xác định là: \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\). Vậy \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
b) ĐÚNG: Đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\);
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left( { - 2;2} \right).\)
c) SAI: Tại các biên \(x = \pm 2\), ta có \(f\left( { \pm 2} \right) = 0\). Tại điểm cực trị \(x = 0\), ta có \(f\left( 0 \right) = 2\). Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0\). Khẳng định phát biểu giá trị nhỏ nhất bằng 2 là sai.
d) ĐÚNG: Đặt \(t = f\left( x \right)\). Vì \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) nên \(t \in \left[ {0;2} \right]\). Khi đó: \(g\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t + 1}}\).
Ta thấy hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
Do đó giá trị lớn nhất đạt được khi \(t\) đạt giá trị lớn nhất: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 2 \right) = \frac{{2 - 2}}{{2 + 1}} = 0\).
Câu 2
A. \({a^2}\).
B. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
C. \({a^2}\sqrt 3 \).
D. \({a^2}\sqrt 2 \).
Lời giải
Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) và các cạnh đối song song với đáy dưới nên ta có \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó tích vô hướng trở thành: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
Ta có độ dài các đoạn thẳng: \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh \(a\)).
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) chính là \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Áp dụng định nghĩa tích vô hướng:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).
Chọn A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\vec a \cdot \vec c = 1\).
B. \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0\).
C. \(\vec a\), \(\vec b\) cùng phương.
D. \(\cos \left( {\vec b,\vec c} \right) = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập