Tại một điểm cao ở khu vực leo núi có một trung tâm điều hành trạm cứu hộ, trung tâm có cột ăngten đặt thiết bị thu phát vô tuyến và radar phục vụ giám sát, nhận tín hiệu cầu cứu và phát thông tin cần thiết đến trực thăng. Hệ \(Oxyz\) được thiết lập như hình vẽ (đơn vị mét).
a. Trực thăng cứu hộ đang cách trạm cứu hộ 20 m về hướng Nam, 30 mét về hướng Tây và cao 100 m so với trạm cứu hộ; tọa độ trực thăng cứu hộ là \(\left( {20; - 30;100} \right)\).
b. Một nhóm cứu hộ phát tín hiệu cầu cứu tại vị trí \(\left( { - 300;200; - 30} \right)\). Khi đó vectơ có điểm đầu là trực thăng, điểm cuối là vị trí cần cứu hộ có tọa độ là \(\left( {320; - 230;130} \right)\).
c. Khoảng cách từ trực thăng đến nơi cứu hộ (làm tròn đến hàng đơn vị) là 400 m.
d. Trạm cứu hộ xác định vectơ vận tốc gió là \(\left( {10;5;1} \right)\) (m/s), yêu cầu trực thăng sau 3 phút đến vị trí cứu hộ. Trực thăng cần thiết lập vận tốc riêng có tọa độ \(\left( { - \frac{{106}}{9}; - \frac{{67}}{{18}}; - \frac{{31}}{{18}}} \right)\) (m/s) để đảm bảo đến đúng nơi, đúng thời gian theo yêu cầu.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) ĐÚNG: Dựa vào hệ trục quy ước: Hướng Nam cùng chiều dương trục \(Ox \Rightarrow x = 20\). Hướng Tây ngược chiều dương trục \(Oy \Rightarrow y = - 30\). Chiều cao cùng chiều dương trục \(Oz \Rightarrow z = 100\). Vậy tọa độ trực thăng là \(M\left( {20; - 30;100} \right)\).
b) SAI: Gọi vị trí cứu hộ là \(N\left( { - 300;200; - 30} \right)\). Vectơ từ trực thăng đến vị trí cứu hộ là:
\(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right) = \left( { - 300 - 20;200 - \left( { - 30} \right); - 30 - 100} \right) = \left( { - 320;230; - 130} \right)\)
c) SAI: Khoảng cách thực tế là độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MN} \):
\(MN = \sqrt {{{\left( { - 320} \right)}^2} + {{230}^2} + {{\left( { - 130} \right)}^2}} = \sqrt {102400 + 52900 + 16900} = \sqrt {172200} \approx 415{\rm{\;m}} \ne 400{\rm{\;m}}.\)
d) ĐÚNG: Thời gian bay là \(t = 3{\rm{\;ph\'u t}} = 180{\rm{\;gi\^a y}}\).
Vectơ vận tốc tổng hợp của trực thăng cần đạt được để đi từ \(M\) đến \(N\) là:
\(\vec v = \frac{{\overrightarrow {MN} }}{t} = \left( {\frac{{ - 320}}{{180}};\frac{{230}}{{180}};\frac{{ - 130}}{{180}}} \right) = \left( { - \frac{{16}}{9};\frac{{23}}{{18}}; - \frac{{13}}{{18}}} \right)\).
Ta lại có vận tốc tổng hợp bằng vận tốc riêng cộng vận tốc gió: \(\vec v = {\vec v_{{\rm{ri\^e ng}}}} + {\vec v_{{\rm{gi\'o }}}}\).
\( \Rightarrow {\vec v_{{\rm{ri\^e ng}}}} = \vec v - {\vec v_{{\rm{gi\'o }}}} = \left( { - \frac{{16}}{9} - 10;\frac{{23}}{{18}} - 5; - \frac{{13}}{{18}} - 1} \right) = \left( { - \frac{{106}}{9}; - \frac{{67}}{{18}}; - \frac{{31}}{{18}}} \right)\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
b. \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2\).
d. Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{f\left( x \right) + 1}}\) có giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) là 0.
Lời giải
a) ĐÚNG: Điều kiện để hàm số xác định là: \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\). Vậy \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
b) ĐÚNG: Đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\);
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left( { - 2;2} \right).\)
c) SAI: Tại các biên \(x = \pm 2\), ta có \(f\left( { \pm 2} \right) = 0\). Tại điểm cực trị \(x = 0\), ta có \(f\left( 0 \right) = 2\). Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0\). Khẳng định phát biểu giá trị nhỏ nhất bằng 2 là sai.
d) ĐÚNG: Đặt \(t = f\left( x \right)\). Vì \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) nên \(t \in \left[ {0;2} \right]\). Khi đó: \(g\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t + 1}}\).
Ta thấy hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
Do đó giá trị lớn nhất đạt được khi \(t\) đạt giá trị lớn nhất: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 2 \right) = \frac{{2 - 2}}{{2 + 1}} = 0\).
Câu 2
A. \({a^2}\).
B. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
C. \({a^2}\sqrt 3 \).
D. \({a^2}\sqrt 2 \).
Lời giải
Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) và các cạnh đối song song với đáy dưới nên ta có \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó tích vô hướng trở thành: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
Ta có độ dài các đoạn thẳng: \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh \(a\)).
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) chính là \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Áp dụng định nghĩa tích vô hướng:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).
Chọn A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\vec a \cdot \vec c = 1\).
B. \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0\).
C. \(\vec a\), \(\vec b\) cùng phương.
D. \(\cos \left( {\vec b,\vec c} \right) = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập