Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + 2x - 2}}{{x + b}}\) có đồ thị như hình vẽ.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?

Đáp án:

Hệ ba chân đối xứng hoàn toàn qua trục \(Oz\) vì các điểm đáy nằm trên tháp tròn đều tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) bán kính bằng 1 trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Do tính chất đối xứng, độ lớn lực nén lên ba chân là bằng nhau: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = F\).

Các lực tác dụng theo phương của các chân giá đỡ, tức là hướng từ \(E\) đến \({A_i}\).

Vectơ \(\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;1; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {E{A_1}} } \right| = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {37} \).

Vectơ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {E{A_1}} \) nên có thể viết dưới dạng: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{F}{{\sqrt {37} }}\left( {0;1; - 6} \right)\).

Tương tự cho các lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \), hình chiếu của chúng lên trục \(Oz\) đều bằng nhau và có giá trị:

\({F_{1z}} = {F_{2z}} = {F_{3z}} = - 6 \cdot \frac{F}{{\sqrt {37} }}\).

Tổng các thành phần lực theo phương đứng cân bằng với trọng lượng của máy (300 N):

\(3 \cdot \left( {6 \cdot \frac{F}{{\sqrt {37} }}} \right) = 300 \Rightarrow \frac{{18F}}{{\sqrt {37} }} = 300\)\( \Rightarrow F = \frac{{300\sqrt {37} }}{{18}} = \frac{{50\sqrt {37} }}{3} \approx 101,38{\rm{\;N}}\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) bằng 101 N.

Kết quả: 101.

a) ĐÚNG: Điều kiện để hàm số xác định là: \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\). Vậy \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).

b) ĐÚNG: Đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\);

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left( { - 2;2} \right).\)

c) SAI: Tại các biên \(x = \pm 2\), ta có \(f\left( { \pm 2} \right) = 0\). Tại điểm cực trị \(x = 0\), ta có \(f\left( 0 \right) = 2\). Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0\). Khẳng định phát biểu giá trị nhỏ nhất bằng 2 là sai.

d) ĐÚNG: Đặt \(t = f\left( x \right)\). Vì \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) nên \(t \in \left[ {0;2} \right]\). Khi đó: \(g\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t + 1}}\).

Ta thấy hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Do đó giá trị lớn nhất đạt được khi \(t\) đạt giá trị lớn nhất: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 2 \right) = \frac{{2 - 2}}{{2 + 1}} = 0\).