Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;3; - 3} \right)\), \(B\left( { - 5; - 4; - 1} \right)\), \(C\left( { - 5;13; - 8} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(G\) là trọng tâm của .

Đáp án:

Vì \(AA'BD\) là tứ diện đều cạnh bằng \(3\) nên ta có:

+ Các cạnh \(AA' = AB = AD = A'B = A'D = BD = 3\).

+ Các tam giác \(ABD,ABA',AA'D\) là các tam giác đều nên

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = AB \cdot AD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2};\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DD'C'\) nên theo tính chất trọng tâm, ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc và tính chất hình hộp).

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = {\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{9}A{B^2} + A{D^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{4}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} \)

\( = \frac{1}{9} \cdot {3^2} + {3^2} + \frac{4}{9} \cdot {3^2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}\)\( = 1 + 9 + 4 + 3 + 2 + 6 = 25\).

Suy ra \(AG = \sqrt {25} = 5\).

Kết quả: 5.

Trong hình lập phương \(ABCD.MNPQ\), ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {MQ} \).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {QN} \) và \(\overrightarrow {AD} \) chính bằng góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {QN} \) và \(\overrightarrow {MQ} \).

Ta có góc giữa hai vectơ: \(\left( {\overrightarrow {QN} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\overrightarrow {QN} ,\overrightarrow {MQ} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {QN} ,\overrightarrow {QM} } \right)\).

Vì \(MNPQ\) là hình vuông nên góc giữa đường chéo \(QN\) và cạnh \(QM\) là \(45^\circ \).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {QN} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\overrightarrow {QN} ,\overrightarrow {MQ} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {QN} ,\overrightarrow {QM} } \right) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).

Chọn B.