Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát \(2{\rm{\;km}}\) về phía nam và \(1{\rm{\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,5{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chọn hệ trục \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.

Đáp án:

Vì \(AA'BD\) là tứ diện đều cạnh bằng \(3\) nên ta có:

+ Các cạnh \(AA' = AB = AD = A'B = A'D = BD = 3\).

+ Các tam giác \(ABD,ABA',AA'D\) là các tam giác đều nên

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = AB \cdot AD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2};\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DD'C'\) nên theo tính chất trọng tâm, ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc và tính chất hình hộp).

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = {\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{9}A{B^2} + A{D^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{4}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} \)

\( = \frac{1}{9} \cdot {3^2} + {3^2} + \frac{4}{9} \cdot {3^2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}\)\( = 1 + 9 + 4 + 3 + 2 + 6 = 25\).

Suy ra \(AG = \sqrt {25} = 5\).

Kết quả: 5.

Đáp án:

Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) nên cạnh \(CD\) song song với \(AB\).

Ta có vectơ đáy: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).

Đường thẳng \(CD\) đi qua \(C\left( {6;1; - 1} \right)\) và nhận \({\vec u_{CD}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đó điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(CD\) có tọa độ dạng tham số: \(D\left( {6 + t;1 - 2t; - 1 - 2t} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow {CD} = \left( {t; - 2t; - 2t} \right)\). Nhận thấy \(\overrightarrow {CD} = t \cdot \overrightarrow {AB} \). Độ dài đáy \(CD = \left| t \right| \cdot AB = 3\left| t \right|\).

Chiều cao \(h\) của hình thang chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(CD\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 1; - 1} \right)\).

Tính tích có hướng để tính khoảng cách: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;9; - 9} \right)\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(CD\) là: \(h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {9^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }}{3} = \frac{{9\sqrt 2 }}{3} = 3\sqrt 2 \).

Diện tích hình thang \(ABCD\):

\(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot h}}{2} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left( {3 + 3\left| t \right|} \right) \cdot 3\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {1 + \left| t \right|} \right) \cdot \frac{3}{2} = 6 \Leftrightarrow 1 + \left| t \right| = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left| t \right| = \frac{1}{3}\).

Vì hình thang \(ABCD\) có các đỉnh theo thứ tự vòng tròn nên vectơ \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \), tức là \(t < 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{3}\).

Thay \(t = - \frac{1}{3}\) vào tọa độ điểm \(D\):

\(a = 6 - \frac{1}{3} = \frac{{17}}{3}\)

\(b = 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)

\(c = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\)

Tính biểu thức \(P\): \(P = 3a + b - c = 3 \cdot \left( {\frac{{17}}{3}} \right) + \frac{5}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 17 + \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 19\).

Kết quả: 19.