Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát \(2{\rm{\;km}}\) về phía nam và \(1{\rm{\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,5{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chọn hệ trục \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.

Đáp án:

Vì \(AA'BD\) là tứ diện đều cạnh bằng \(3\) nên ta có:

+ Các cạnh \(AA' = AB = AD = A'B = A'D = BD = 3\).

+ Các tam giác \(ABD,ABA',AA'D\) là các tam giác đều nên

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = AB \cdot AD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2};\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DD'C'\) nên theo tính chất trọng tâm, ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc và tính chất hình hộp).

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = {\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{9}A{B^2} + A{D^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{4}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} \)

\( = \frac{1}{9} \cdot {3^2} + {3^2} + \frac{4}{9} \cdot {3^2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}\)\( = 1 + 9 + 4 + 3 + 2 + 6 = 25\).

Suy ra \(AG = \sqrt {25} = 5\).

Kết quả: 5.

a) ĐÚNG. Số tiền thu được từ việc bán \(x\) mét vải với giá 220 nghìn đồng/mét là \(B\left( x \right) = 220x\) (nghìn đồng).

b). SAI. Biểu thức tính lợi nhuận là hiệu giữa doanh thu và chi phí:

\(L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

c) ĐÚNG. Xét hàm lợi nhuận \(L\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\) trên đoạn \(\left[ {1;18} \right]\).

Đạo hàm: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240\).

Xét \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{x^2} - 2x - 80} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10{\rm{\;(nhan)}}}\\{x = - 8{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\),

Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left[ {1;18} \right]\), ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại \(x = 10\). Vậy cần bán 10 mét vải mỗi ngày để thu lợi nhuận tối đa.

d) SAI. Thay \(x = 10\) vào biểu thức lợi nhuận ta có:

\(L\left( {10} \right) = - {10^3} + 3 \cdot {10^2} + 240 \cdot 10 - 500 = - 1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200\) (nghìn đồng).

Do đó lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng chứ không phải 1000 nghìn đồng.