PHẦN I. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng:

Khối lượng (gam)	\(\left[ {80;82} \right)\)	\(\left[ {82;84} \right)\)	\(\left[ {84;86} \right)\)	\(\left[ {86;88} \right)\)	\(\left[ {88;90} \right)\)
Số quả	17	20	25	16	12

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

Đáp án:

Vì \(AA'BD\) là tứ diện đều cạnh bằng \(3\) nên ta có:

+ Các cạnh \(AA' = AB = AD = A'B = A'D = BD = 3\).

+ Các tam giác \(ABD,ABA',AA'D\) là các tam giác đều nên

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} } \right) = 60^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = AB \cdot AD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2};\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = \frac{9}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DD'C'\) nên theo tính chất trọng tâm, ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc và tính chất hình hộp).

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = {\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{9}A{B^2} + A{D^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{4}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} \)

\( = \frac{1}{9} \cdot {3^2} + {3^2} + \frac{4}{9} \cdot {3^2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}\)\( = 1 + 9 + 4 + 3 + 2 + 6 = 25\).

Suy ra \(AG = \sqrt {25} = 5\).

Kết quả: 5.

Đáp án:

Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) nên cạnh \(CD\) song song với \(AB\).

Ta có vectơ đáy: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).

Đường thẳng \(CD\) đi qua \(C\left( {6;1; - 1} \right)\) và nhận \({\vec u_{CD}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đó điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(CD\) có tọa độ dạng tham số: \(D\left( {6 + t;1 - 2t; - 1 - 2t} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow {CD} = \left( {t; - 2t; - 2t} \right)\). Nhận thấy \(\overrightarrow {CD} = t \cdot \overrightarrow {AB} \). Độ dài đáy \(CD = \left| t \right| \cdot AB = 3\left| t \right|\).

Chiều cao \(h\) của hình thang chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(CD\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 1; - 1} \right)\).

Tính tích có hướng để tính khoảng cách: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;9; - 9} \right)\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(CD\) là: \(h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {9^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }}{3} = \frac{{9\sqrt 2 }}{3} = 3\sqrt 2 \).

Diện tích hình thang \(ABCD\):

\(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot h}}{2} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left( {3 + 3\left| t \right|} \right) \cdot 3\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {1 + \left| t \right|} \right) \cdot \frac{3}{2} = 6 \Leftrightarrow 1 + \left| t \right| = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left| t \right| = \frac{1}{3}\).

Vì hình thang \(ABCD\) có các đỉnh theo thứ tự vòng tròn nên vectơ \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \), tức là \(t < 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{3}\).

Thay \(t = - \frac{1}{3}\) vào tọa độ điểm \(D\):

\(a = 6 - \frac{1}{3} = \frac{{17}}{3}\)

\(b = 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)

\(c = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\)

Tính biểu thức \(P\): \(P = 3a + b - c = 3 \cdot \left( {\frac{{17}}{3}} \right) + \frac{5}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 17 + \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 19\).

Kết quả: 19.