46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải)

36 người thi tuần này 4.6 282 lượt thi 46 câu hỏi 45 phút

Câu 1/46

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có \(A(2;0;0),B(0;4;0)\) và \(C(0;0;7)\).

a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC.

b) Vectơ \(\vec v = ( - 1;2;0)\) có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB không?

Lời giải

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và C(0; 0; 7). Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC. (ảnh 1)

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 2;4;0)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB; \(\overrightarrow {AC} = ( - 2;0;7)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

b) Vì \(\vec v = ( - 1;2;0) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) nên \(\vec v\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

Câu 2/46

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 6t}\\{y = 11 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\).

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Tìm các điểm trên \(d\) ứng với \(t\) lần lượt bằng \(0;2; - 3\).

Lời giải

a) Từ phương trình tham số, ta có \(\vec a = (6;2;4)\) là một vectơ chỉ phương của \(d\). Chọn \(\vec b = \frac{1}{2}\vec a = (3;1;2)\), ta có \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Thay \(t = 0\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 6.0}\\{y = 11 + 2.0}\\{z = 4.0}\end{array}{\rm{ hay }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 11}\\{z = 0.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(A( - 2;11;0)\).

Tương tự, với \(t = 2\) thì \(B(10;15;8)\), với \(t = - 3\) thì \(C( - 20;5; - 12)\).

Câu 3/46

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\vec a = (4;5; - 7)\) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng \(d\) có đi qua điểm \(A(1;1;5)\) không?

Lời giải

Ta có phương trình tham số của \(d\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 + 5t}\\{z = 3 - 7t}\end{array}} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào phương trình \(x = 1 + 4t\), ta được \(1 = 1 + 4t\), suy ra \(t = 0\).

Thay \(y = 1\) và \(t = 0\) vào phương trình \(y = 2 + 5t\), ta thấy phương trình không thoả mãn. Suy ra đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(A\).

Câu 4/46

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\vec a = (4;5; - 7)\) làm vectơ chỉ phương.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\).

Câu 5/46

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết \(A(1;1;5)\) và \(B(3;5;8)\).

Lời giải

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (2;4;3)\) nên có phương trình tham số:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 5 + 3t}\end{array}} \right.\)và phương trình chính tắc: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{3}.\)

Câu 6/46

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;1),B(7;5;3)\), \(C(4;2;0),{A^\prime }(4;9;9)\). Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng \(AB,{A^\prime }{C^\prime }\) và \(B{B^\prime }\).

Lời giải

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9) (ảnh 1)

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (6;3;2)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .

\(\overrightarrow {A{A^\prime }} = (3;7;8)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\rm{B}}{{\rm{B}}^\prime }\) vì \({\rm{A}}{{\rm{A}}^\prime }//{\rm{B}}{{\rm{B}}^\prime }\).

\(\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({{\rm{A}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }\) vi \({\rm{AC}}//{{\rm{A}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }\).

Câu 7/46

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 8t}\\{y = - 4t}\\{z = 3 + 12t}\end{array}} \right.\)

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Tìm ba điểm trên \(d\).

Lời giải

a) Đường thẳng d nhận \(\vec a = (8; - 4;12)\) làm một vectơ chỉ phương.

Có \(\vec b = \frac{1}{4}\vec a = (2; - 1;3)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

b) Cho \(t = 0\), ta có \({\rm{A}}( - 1;0;3)\).

Cho t \( = 1\), ta có \({\rm{B}}(7; - 4;15)\).

Cho t \( = 2\), ta có \({\rm{C}}(15; - 8;27)\).

Vậy 3 điểm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) là ba điểm thuộc d .

Câu 8/46

Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B{C^\prime }\) mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

Lời giải

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC' mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp (ảnh 1)

Đường thẳng \(B{C^\prime }\) nhận các vectơ \(\overline {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }B} ,\overrightarrow {A{D^\prime },} \overline {{D^\prime }A} \) là các vectơ chỉ phương.

Câu 9/46